Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
y^prime=(3 x^2-e^x) /(2 y-5), com y(0)=1

Passo 1

Temos o problema de valor inicial
y' = 3x^2 - e^x2y - 5, y(0)=1
Este é um caso de equação diferencial de variáveis separáveis: podemos escrever todos os termos em y de um lado e todos os termos em x do outro para depois integrar.

Passo 2

Separamos as variáveis multiplicando em cruz:
(2y - 5),dy = (3x^2 - e^x),dx

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral (2y - 5),dy = integral (3x^2 - e^x),dx
No lado esquerdo
integral (2y - 5),dy = y^2 - 5y + C1,
e no lado direito
integral (3x^2 - e^x),dx = x^3 - e^x + C2
Igualando e juntando as constantes em C obtemos a forma implícita
y^2 - 5y = x^3 - e^x + C

Passo 4

Usamos a condição inicial y(0)=1:
no lado esquerdo, 1^2 - 5cdot1 = -4; no direito, 0^3 - e^0 + C = -1 + C.
Logo
-4 = -1 + C Longrightarrow C = -3
A solução implícita fica
y^2 - 5y = x^3 - e^x - 3

Passo 5

Para resolver para y explicitamente, completamos o quadrado:
y^2 - 5y + 254 = l(y - 52r)^2,
então
l(y - 52r)^2 = x^3 - e^x - 3 + 254 = x^3 - e^x + 134
Isso dá
y - 52 = pm raizx^3 - e^x + 134
Como em x=0 o valor de y é 1, verificamos
1 - 52 = -32 = -raiz94,
portanto escolhemos o sinal negativo.

Resposta

boxed y(x) = 52 ;-;raizx^3 - e^x + 134

Exercícios relacionados