L^-12 s-1s^2(s+1)^3

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de
2s-1s^2(s+1)^3,
ou seja, precisamos encontrar
f(t)=L^-1l2s-1s^2(s+1)^3r
O que vamos precisar: decompor em frações parciais e usar as fórmulas
L^-11/s=1,
L^-11/s^2=t e
L^-11/(s+1)^n=t^,n-1/(n-1)!,e^-t.

Passo 2

A gente assume a forma
2s-1s^2(s+1)^3 =As+Bs^2 +Cs+1+D(s+1)^2+E(s+1)^3
Multiplicando por s^2(s+1)^3 fica
2s-1 = A,s,(s+1)^3 + B,(s+1)^3 + C,s^2(s+1)^2 + D,s^2(s+1) + E,s^2
Para achar B fazemos s=0:
-1 = Bcdot1^3;Longrightarrow;B=-1
Para achar E fazemos s=-1:
2(-1)-1=-3 = Ecdot(-1)^2;Longrightarrow;E=-3

Passo 3

Para achar
Substituindo , logo .
Da equação de vem , logo .
E da de :

Passo 4

Assim a fração parcial é
2s-1s^2(s+1)^3 = 5s -1s^2 -5s+1 -4(s+1)^2 -3(s+1)^3

Passo 5

Agora aplicamos L^-1 em cada termo:
L^-1tfrac5s=5, L^-1tfrac-1s^2=-t,
L^-1tfrac-5s+1=-5e^-t, L^-1tfrac-4(s+1)^2=-4,t,e^-t,
L^-1tfrac-3(s+1)^3 =-3cdott^22,e^-t =-32t^2e^-t
Somando tudo, obtemos
f(t) =5 - t -5e^-t -4t,e^-t -tfrac32t^2e^-t

Resposta

boxedf(t)=5 - t ;-; e^-tl(5 +4t +tfrac32t^2r)

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