Verifique que a família de funções indicada é uma solução da equação diferencial dada. Admita um intervalo de definição I apropriado para cada solução.
d^2 yd x^2-4 d yd x+4 y=0 ; y=c1 e^2 x+c2 x e^2 x

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a família
y=c1e^2x+c2x e^2x
é solução da equação diferencial
y''-4y'+4y=0
O conteúdo envolvido é equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e usaremos a técnica de substituição direta (diferenciar e substituir).

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas de y. Como y=c1e^2x+c2x e^2x, temos
y'=c1cdot2e^2x+c2(1cdot e^2x+xcdot2e^2x)=(2c1+c2+2c2x)e^2x,
a seguir
y''=ddx[(2c1+c2+2c2x)e^2x]=2c2e^2x+(2c1+c2+2c2x)cdot2e^2x=(4c1+4c2+4c2x)e^2x

Passo 3

Agora substituímos na equação y''-4y'+4y=0. Agrupando fatores de e^2x:
y''-4y'+4y=(4c1+4c2+4c2x)-4(2c1+c2+2c2x)+4(c1+c2x)gr)e^2x
Dentro do parênteses:
(4c1+4c2+4c2x)-8c1-4c2-8c2x+4c1+4c2x=0,
pois os termos em c1, c2 e c2x somam zero.

Passo 4

Como o resultado da substituição é zero para todo x e para quaisquer constantes c1,c2, concluímos que a família dada satisfaz identicamente a equação diferencial. Portanto ela é a solução geral no intervalo adequado (por exemplo I= R).

Resposta

A família y=c1e^2x+c2xe^2x satisfaz y''-4y'+4y=0 para todo x, logo é a solução geral no intervalo apropriado.

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