Verifique que a família de funções indicada é uma solução da equação diferencial dada. Admita um intervalo de definição
apropriado para cada solução.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a família
é solução da equação diferencial
O conteúdo envolvido é equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e usaremos a técnica de substituição direta (diferenciar e substituir).
Passo 2
Primeiro calculamos as derivadas de
. Como
, temos
a seguir
Passo 3
Agora substituímos na equação
. Agrupando fatores de
:
Dentro do parênteses:
pois os termos em
,
e
somam zero.
Passo 4
Como o resultado da substituição é zero para todo
e para quaisquer constantes
, concluímos que a família dada satisfaz identicamente a equação diferencial. Portanto ela é a solução geral no intervalo adequado (por exemplo
).
Resposta
A família
satisfaz
para todo
, logo é a solução geral no intervalo apropriado.