Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
y^(4)+2 y^prime prime prime+y^prime prime+8 y^prime-12 y=12 sen t-e^-t y(0)=3, y^prime(0)=0, y^prime prime(0)=-1, y^prime prime prime(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial para a EDO de quarta ordem com coeficientes constantes e termo forçante
y^(4) + 2y^(3) + y'' + 8y' - 12y = 12sin t ;-; e^-t,
sujeita a
;y(0)=3, y'(0)=0, y''(0)=-1, y^(3)(0)=2
O conteúdo envolvido é solução de EDO linear por soma da solução geral da homogênea (equação característica) e de soluções particulares (coeficientes a determinar).

Passo 2

Encontramos a solução da homogênea resolvendo a equação característica
;r^4 + 2r^3 + r^2 + 8r -12 = 0
Testando raízes r =1, r =- 3, obtemos fatoração
;(r-1)(r+3)(r^2+4)=0,
logo
;r=1,;-3,;2i,;-2i
Portanto
;yh(t)=C1e^t + C2e^-3t + C3cos(2t) + C4sin(2t)

Passo 3

Procuramos particular em duas partes:
Substituindo em e igualando a obtemos o sistema
cuja solução é
, tentamos
Substituindo e igualando a
Logo a solução particular é

Passo 4

A solução geral do problema é
y(t) = C1e^t + C2e^-3t + C3cos(2t) + C4sin(2t) ;-;tfrac25cos t - tfrac45sin t + tfrac120e^-t

Passo 5

Calculamos y',y'',y^(3) e impomos as condições iniciais. Em t=0 isso gera o sistema linear para C1,C2,C3,C4:
C1 + C2 + C3 = tfrac6720, C1 - 3C2 + 2C4 = tfrac1720, C1 + 9C2 - 4C3 = -tfrac2920, C1 -27C2 -8C4 = tfrac54

Passo 6

Resolvendo esse sistema encontra-se
C1 = tfrac8140, C2 = tfrac73520, C3 = tfrac7765, C4 = -tfrac49130

Resposta

boxed y(t) = 8140,e^t + 73520,e^-3t + 7765cos(2t) - 49130sin(2t) - 25cos t - 45sin t + 120,e^-t

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