Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial para a EDO de quarta ordem com coeficientes constantes e termo forçante
sujeita a
O conteúdo envolvido é solução de EDO linear por soma da solução geral da homogênea (equação característica) e de soluções particulares (coeficientes a determinar).
Passo 2
Encontramos a solução da homogênea resolvendo a equação característica
Testando raízes r, r-, obtemos fatoração
logo
Portanto
Passo 3
Procuramos particular em duas partes:
Substituindo em e igualando a obtemos o sistema
cuja solução é
, tentamos
Substituindo e igualando a dá
Logo a solução particular é
Passo 4
A solução geral do problema é
y(t) = C1e^t + C2e^-3t + C3cos(2t) + C4sin(2t) ;-;tfrac25cos t - tfrac45sin t + tfrac120e^-t
Passo 5
Calculamos y',y'',y^(3) e impomos as condições iniciais. Em t=0 isso gera o sistema linear para C1,C2,C3,C4: