Suponha que y = f(x) é uma função derivável dada implícitamente pela equação y^3 + 3 x y^2 - 4 = 0 0 . Suponha ainda que 1 pertence ao domínio de f.
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (1, f(1)).

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve derivadas implícitas e encontrar a equação da reta tangente a uma função no ponto . Para isso, vamos precisar usar o conceito de derivada implícita e entender como calcular a inclinação da reta tangente a partir dela.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o valor de . Sabemos que a função está definida implicitamente pela equação:
Substituindo na equação:
Vamos resolver esta equação para encontrar . Testando valores simples, vemos que satisfaz a equação:
Portanto, e o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada usando derivadas implícitas. A derivada implícita é usada quando uma função está definida de forma não explícita, como neste caso.
Derivando ambos os lados da equação em relação a :
Aplicando a regra da cadeia e a regra do produto:

Passo 4

Agora, vamos resolver para :
Simplificando:

Passo 5

Agora, substituímos e na expressão para para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto :
Portanto, a inclinação da reta tangente é .

Passo 6

Com a inclinação e passando pelo ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo , e :

Resposta

A equação da reta tangente ao gráfico de no ponto é:
Ou, simplificando:

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