Suponha que
é uma função derivável dada implícitamente pela equação
0 . Suponha ainda que 1 pertence ao domínio de
.
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve derivadas implícitas e encontrar a equação da reta tangente a uma função no ponto
. Para isso, vamos precisar usar o conceito de derivada implícita e entender como calcular a inclinação da reta tangente a partir dela.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o valor de
. Sabemos que a função está definida implicitamente pela equação:
Substituindo
na equação:
Vamos resolver esta equação para encontrar
. Testando valores simples, vemos que
satisfaz a equação:
Portanto,
e o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada
usando derivadas implícitas. A derivada implícita é usada quando uma função está definida de forma não explícita, como neste caso.
Derivando ambos os lados da equação em relação a
:
Aplicando a regra da cadeia e a regra do produto:
Passo 4
Agora, vamos resolver para
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na expressão para
para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto
:
Portanto, a inclinação da reta tangente é
.
Passo 6
Com a inclinação
e passando pelo ponto
, podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo
,
e
:
Resposta
A equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
é:
Ou, simplificando: