Encontre a soluçāo do problema de valor inicial dado. Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamento para valores cada vez maiores de (t).
y^{\prime \prime}+y^{\prime}+1.25 y=0, \quad y(0)=3, \quad y^{\prime}(0)=1

Passo 1

O problema é o IVP
y'' + y' + 1.25\,y = 0,
com condições iniciais y(0)=3 e y'(0)=1.
O conteúdo é resolução de EDO linear homogênea de 2º ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos: (1) montar a equação característica, (2) achar as raízes, (3) escrever a solução geral, (4) aplicar as condições iniciais.

Passo 2

A equação característica associada é
r^2 + r + 1.25 = 0.
O discriminante é \Delta = 1 - 4\cdot1\cdot1.25 = -4, logo raízes complexas conjugadas
r = \frac{-1 \pm \sqrt{-4}}{2} = -\tfrac12 \pm i.
Portanto a solução geral é
y(t) = e^{-\tfrac12 t}\bigl(C_1\cos t + C_2\sin t\bigr).

Passo 3

Derivando,
y'(t) = e^{-\tfrac12 t}\Bigl[-\tfrac12\,(C_1\cos t + C_2\sin t) + (-C_1\sin t + C_2\cos t)\Bigr].
Em t=0,
y(0)=C_1=3,
y'(0)=-\tfrac12 C_1 + C_2 = 1 \;\Longrightarrow\; -\tfrac12\cdot3 + C_2 = 1 \;\Longrightarrow\; C_2 = 2.5.
Logo
y(t) = e^{-\tfrac12 t}\bigl(3\cos t + 2.5\sin t\bigr).

Passo 4

Podemos escrever em forma de oscilação amortecida:
y(t) = A\,e^{-\tfrac12 t}\cos\bigl(t - \varphi\bigr),
onde
A = \sqrt{3^2 + 2.5^2} = \sqrt{15.25}\approx3.905,
\varphi = \arctan\!\bigl(\tfrac{2.5}{3}\bigr)\approx0.695\text{ rad}.

Passo 5

O esboço do gráfico é uma oscilação de frequência angular 1 rad/s (período 2\pi) com amplitude decrescente conforme as curvas de envelope \pm A\,e^{-t/2}. Para t\to\infty, a exponencial domina e y(t)\to0.

Resposta

y(t) = e^{-\tfrac12 t}\bigl(3\cos t + 2.5\sin t\bigr),
que é uma oscilação amortecida de frequência 1 rad/s e coeficiente de amortecimento 0.5, decaindo para zero quando t cresce.

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