Encontre a soluçāo do problema de valor inicial dado. Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamento para valores cada vez maiores de (t).
Passo 1
O problema é o IVP
com condições iniciais
e
.
O conteúdo é resolução de EDO linear homogênea de 2º ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos: (1) montar a equação característica, (2) achar as raízes, (3) escrever a solução geral, (4) aplicar as condições iniciais.
O conteúdo é resolução de EDO linear homogênea de 2º ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos: (1) montar a equação característica, (2) achar as raízes, (3) escrever a solução geral, (4) aplicar as condições iniciais.
Passo 2
A equação característica associada é
O discriminante é
, logo raízes complexas conjugadas
Portanto a solução geral é
Passo 3
Derivando,
Em
,
Logo
Passo 4
Podemos escrever em forma de oscilação amortecida:
onde
Passo 5
O esboço do gráfico é uma oscilação de frequência angular
rad/s (período
) com amplitude decrescente conforme as curvas de envelope
. Para
, a exponencial domina e
.
Resposta
que é uma oscilação amortecida de frequência
rad/s e coeficiente de amortecimento
, decaindo para zero quando
cresce.