I_{g}=\int\left(e^{2 x}+a^{2 x}\right)^{2} d x, a>0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
I_g = \int \bigl(e^{2x} + a^{2x}\bigr)^{2}\,dx,
onde a>0.
O conteúdo aqui é integração de funções exponenciais. Para resolver, vamos expandir o quadrado, usar a representação a^{2x}=e^{2x\ln a} e aplicar a fórmula
\int e^{kx}\,dx=\frac{1}{k}e^{kx}+C.

Passo 2

Expandimos o integrando e reescrevemos tudo em termos de exponenciais:
\bigl(e^{2x}+a^{2x}\bigr)^{2} = e^{4x} + 2\,e^{2x}a^{2x} + a^{4x} = e^{4x} + 2\,e^{2x}e^{2x\ln a} + e^{4x\ln a}.
Assim,
I_g = \int e^{4x}\,dx \;+\; 2\int e^{2x(1+\ln a)}\,dx \;+\; \int e^{4x\ln a}\,dx.

Passo 3

Aplicamos \displaystyle \int e^{kx}\,dx=\tfrac{1}{k}e^{kx} em cada termo:
\int e^{4x}\,dx = \frac{e^{4x}}{4}, \quad 2\int e^{2x(1+\ln a)}\,dx = 2\cdot\frac{e^{2x(1+\ln a)}}{2(1+\ln a)} = \frac{e^{2x(1+\ln a)}}{1+\ln a},
\int e^{4x\ln a}\,dx = \frac{e^{4x\ln a}}{4\ln a}.

Passo 4

Reescrevendo em termos de e^{2x} e a^{2x}:
e^{2x(1+\ln a)} = e^{2x}\,e^{2x\ln a} = e^{2x}a^{2x}, \quad e^{4x\ln a} = a^{4x}.
Logo, somando tudo e acrescentando a constante C, temos a forma final:

Resposta

\int \bigl(e^{2x} + a^{2x}\bigr)^{2}dx = \frac{e^{4x}}{4} + \frac{e^{2x}a^{2x}}{1+\ln a} + \frac{a^{4x}}{4\ln a} + C.

Exercícios relacionados