Questão 3 (2,0 pontos) Sejam
gamma(t)=\left(\frac{1}{t}, t^{{2}}\right) \quad \text { e } \quad f(x, y)=e^{-\left(x^{{2}}+y^{{2}}\right)}
Determine a equação da reta tangente à trajetória da curva \gamma no ponto (1,1).

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica
\gamma(t)=\bigl(\tfrac1t,\;t^2\bigr)
e pede a reta tangente à trajetória de \gamma no ponto (1,1). O que precisamos é encontrar o valor de t que gera (1,1), calcular o vetor velocidade \gamma'(t) nesse t e, a partir dele, obter a equação da reta tangente.

Passo 2

Para achar o parâmetro t_0 tal que \gamma(t_0)=(1,1) resolvemos
\frac1{t_0}=1 \quad\text{e}\quad t_0^2=1.
Da primeira equação vem t_0=1, e isso satisfaz t_0^2=1. Logo, t_0=1.

Passo 3

Calculamos a derivada de \gamma:
\gamma'(t)=\Bigl(-\tfrac1{t^2},\;2t\Bigr).
Em t=1 isso dá
\gamma'(1)=(-1,2).
Esse é o vetor tangente à curva em (1,1). O coeficiente angular da reta tangente é
m=\frac{2}{-1}=-2.

Passo 4

A equação da reta com ponto (x_0,y_0)=(1,1) e coeficiente angular m=-2 é
y - 1 = -2\,(x - 1).
Desenvolvendo, obtemos
y = -2x + 3.

Resposta

y=-2x+3

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