Questão 8 - A resistência R para condutores cilíndricos de qualquer formato com seção transversal de área A é:
R=\frac{\rho L}{A}
A resistividade \rho, para a maioria dos metais, varia com a temperatura. A relação empírica entre temperatura e resistividade é \Delta \rho=\rho_{0} \alpha\left(T-T_{0}\right). Então, uma pequena lâmpada comum de filamento de tungstênio é regulada para 0,3 ampères e 3,0 volts, que são os valores da corrente e da voltagem sob condições operacionais. Se a resistência do filamento da lâmpada quando ela está fria é de 1 \Omega, a temperatura do filamento de tungstênio quando a lâmpada está acesa é aproximadamente igual a:
a) 2.300 K
b) 2.000 K
c) 1.200 K
d) 1.600 K
\begin{aligned} & \text { Dados para o tungstênio a temperatura } \\\ & \text { ambiente }\left(20^{\circ} \mathrm{C}\right) \\\ & \rho=5,25 \times 10^{-8} \Omega \cdot \mathrm{~m} \\\ & \alpha=4,5 \times 10^{-3} \mathrm{~K}^{-1} \\\ & 0^{\circ} \mathrm{C}=273,15 \mathrm{~K} \end{aligned}ê

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a temperatura do filamento de tungstênio quando a lâmpada está acesa, usando os dados fornecidos e a dependência linear aproximada da resistividade com a temperatura.
Dados fornecidos (listei todos explicitamente):
\;I=0{,}3\\ \mathrm{A} (corrente em operação)
\;V=3{,}0\\ \mathrm{V} (tensão em operação)
\;R_{\text{fria}}=1\\ \Omega (resistência do filamento quando está fria)
\;\rho_{0}=5{,}25\times 10^{-8}\\ \Omega\!\cdot\!\mathrm{m} (resistividade do tungstênio à temperatura ambiente T_{0})
\;\alpha=4{,}5\times 10^{-3}\\ \mathrm{K}^{-1} (coeficiente linear de temperatura da resistividade)
\;T_{0}=20^\circ\mathrm{C}=293{,}15\\ \mathrm{K} (temperatura ambiente, convertida para Kelvin)
Pergunta explícita: encontrar a temperatura T do filamento quando a lâmpada está acesa.

Passo 2

Calcular a resistência elétrica do filamento em operação a partir de V e I.
A lei de Ohm dá:
R=\frac{V}{I}.
Substituindo os valores operacionais:
R=\frac{3{,}0\\ \mathrm{V}}{0{,}3\\ \mathrm{A}}=10\\ \Omega.

Passo 3

Explicar por que podemos relacionar razões de resistências com razões de resistividades.
A resistência de um condutor cilíndrico (ou qualquer formato com mesma seção e comprimento) é
R=\frac{\rho L}{A},
onde \rho é a resistividade, L é o comprimento do fio e A é a área da seção transversal. Se o comprimento L e a área A do filamento não mudam significativamente com a temperatura (aproximação comum aqui), então L e A cancelam quando formamos a razão entre resistências em duas temperaturas diferentes. Ou seja:
\frac{R}{R_{0}}=\frac{\rho}{\rho_{0}},
onde R_{0} e \rho_{0} são os valores à temperatura T_{0} (frio/ambiente).

Passo 4

Usar a relação linear da variação da resistividade com a temperatura e combinar com a razão de resistências.
A variação empírica dada é
\Delta\rho=\rho_{0}\,\alpha\,(T-T_{0}),
onde \Delta\rho=\rho-\rho_{0}. Logo,
\rho=\rho_{0}\bigl[1+\alpha\,(T-T_{0})\bigr].
Da razão de resistências (Passo 3) temos \rho=\rho_{0}\,R/R_{0}. Igualando as duas expressões para \rho:
\rho_{0}\,\frac{R}{R_{0}}=\rho_{0}\bigl[1+\alpha\,(T-T_{0})\bigr].
Cancelando \rho_{0} e isolando T:
\frac{R}{R_{0}}=1+\alpha\,(T-T_{0})
\alpha\,(T-T_{0})=\frac{R}{R_{0}}-1
T=T_{0}+\frac{\dfrac{R}{R_{0}}-1}{\alpha}.

Passo 5

Substituir os valores numéricos e calcular passo a passo.
Temos R=10\\ \Omega (Passo 2) e R_{0}=1\\ \Omega (dado), então
\frac{R}{R_{0}}-1=10-1=9.
Agora usar \alpha=4{,}5\times 10^{-3}\\ \mathrm{K}^{-1} e T_{0}=293{,}15\\ \mathrm{K}:
T=293{,}15+\frac{9}{4{,}5\times 10^{-3}}.
Calcular o denominador:
4{,}5\times 10^{-3}=0{,}0045,
\frac{9}{0{,}0045}=2000.
Logo
T=293{,}15+2000=2293{,}15\\ \mathrm{K}.
Arredondando de forma adequada (dois algarismos significativos para condizer com dados):
T\approx2300\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Interpretação e escolha da alternativa.
O cálculo dá aproximadamente 2300\\ \mathrm{K}, que corresponde à alternativa (a). Isso faz sentido fisicamente: o filamento de tungstênio esquenta até alguns milhares de kelvin para emitir luz visível.

Resposta

a) 2300\\ \mathrm{K}

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