Suponha que, inicialmente, há 120 gramas do isótopo de chumbo Pb-209. Se Q(t) representa a massa de chumbo no instante t (em horas), temos que Q(t) satisfaz a equação
d Qd t=-15 Q
Determine o instante de tempo T para que a massa se reduza a 60 g , isto é, determine T satisfazendo Q(T)=60.

Passo 1

O enunciado descreve um decaimento radioativo do isótopo Pb-209 com massa inicial Q(0)=120 g. A equação diferencial
dQdt = -15,Q
é uma equação de decaimento exponencial. Para resolver, vamos usar separação de variáveis e integrar.

Passo 2

Separamos variáveis:
dQQ = -15,dt
Integrando ambos os lados, de Q(0) a Q(t) e de 0 a t, obtemos
integralQ(0)^Q(t)dQ'Q' = -15integral0^tdt'Longrightarrow lnl(Q(t)r)-lnl(Q(0)r)=-t5

Passo 3

Desse modo, isolamos Q(t):
lnl(Q(t)r)=lnl(120r)-t5 Longrightarrow Q(t)=120,e^-t/5

Passo 4

Para encontrar T tal que Q(T)=60, impomos
120,e^-T/5=60 Longrightarrow e^-T/5=tfrac12 Longrightarrow -T5=ln!l(tfrac12r)=-ln2
e daí
T=5ln2

Resposta

T = 5ln2 horas (aprox 3,47 h)

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