Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
y^prime-y=2 t t^2 t, y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
y' - y = 2,t,t^2t,
com condição inicial y(0)=1.
O método é o de fator integrante, pois a equação está na forma
y' + p(t),y = q(t),
onde aqui p(t)=-1 e q(t)=2,t,t^2t.

Passo 2

Calculamos o fator integrante mu(t) via
mu(t) = e^integral p(t),dt = e^integral (-1),dt = e^-t

Passo 3

Multiplicando a equação original por mu(t)=e^-t, obtemos
e^-ty' - e^-ty = 2,t,t^2t e^-t
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto y,e^-t, pois
ddtl(y,e^-tr) = y',e^-t + y,( -e^-t) = e^-ty' - e^-ty
Logo a equação fica
ddtl(y,e^-tr) = 2,t,t^2t e^-t

Passo 4

Integramos ambos os lados de 0 até t:
y(t),e^-t - y(0),e^0 = integral0^t 2,s,s^2s e^-s,ds
Como y(0)=1, isso dá
y(t),e^-t - 1 = integral0^t 2,s,s^2s e^-s,ds,
logo
y(t),e^-t = 1 + integral0^t 2,s,s^2s e^-s,ds

Resposta

y(t) = e^tgl[1 + integral0^t 2,s,s^2s e^-s,dsgr]

Exercícios relacionados