Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
} y^{\prime}-2 y=c^{2 l},
quad y(0)=2
} y^{\prime}-2 y=c^{2 l},
quad y(0)=2
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem não homogênea. Vamos usar o método do fator integrante para encontrar a solução geral e depois ajustar a constante pela condição
.
Passo 2
Escrevemos a equação na forma padrão
onde aqui
e
. O fator integrante
é dado por
Passo 3
Multiplicamos a equação original por
, obtendo
O lado esquerdo é a derivada do produto
, ou seja
Passo 4
Integramos ambos os lados em relação a
:
Calculando a integral do lado direito:
logo
Multiplicando por
isolamos
:
Passo 5
Usamos a condição inicial
:
Substituindo
em
chega-se à solução final.