Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
} y^{\prime}-2 y=c^{2 l},
quad y(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y' - 2,y = c^2l, y(0)=2,
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem não homogênea. Vamos usar o método do fator integrante para encontrar a solução geral e depois ajustar a constante pela condição y(0)=2.

Passo 2

Escrevemos a equação na forma padrão
y' + P(x),y = Q(x)
onde aqui P(x)=-2 e Q(x)=c^2l. O fator integrante mu(x) é dado por
mu(x)=expl(integral P(x),dxr)=expl(integral -2,dxr)=e^-2x

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(x)=e^-2x, obtendo
e^-2xy' -2e^-2xy = c^2le^-2x
O lado esquerdo é a derivada do produto e^-2xy, ou seja
ddxl(e^-2xyr)=c^2le^-2x

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
integral ddxl(e^-2xyr),dx = integral c^2le^-2x,dx ;Longrightarrow; e^-2xy = c^2lintegral e^-2x,dx + C
Calculando a integral do lado direito:
integral e^-2x,dx = -tfrac12 e^-2x,
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e^-2xy = -c^2l2e^-2x + C
Multiplicando por e^2x isolamos y:
y(x)=C,e^2x - c^2l2

Passo 5

Usamos a condição inicial y(0)=2:
y(0)=C,e^0 - c^2l2=C - c^2l2=2 ;Longrightarrow; C=2+c^2l2
Substituindo C em y(x) chega-se à solução final.

Resposta

boxedy(x)=l(2+c^2l2r)e^2x-c^2l2

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