Exercício 16. Determine se f é injetora.
2. f(x)=x^4-1,0 <= x <= 10

Passo 1

O enunciado nos dá a função fcolon [0,10]toR definida por
f(x)=x^4-1
O conteúdo aqui é injetividade, e vamos usar o critério de monotonicidade para decidir se f é injetora.

Passo 2

Uma função é injetora se, sempre que f(x1)=f(x2), segue que x1=x2. Um critério prático é mostrar que f é estritamente crescente em todo o domínio, pois toda função estritamente crescente num intervalo é injetora.

Passo 3

Calculamos a derivada de f:
f'(x)=4x^3
Para xin[0,10] temos x^3>=0, logo f'(x)>=0 em todo o intervalo e, para x>0, f'(x)>0.

Passo 4

Como f'(x)>0 para todo xin(0,10], concluímos que f é estritamente crescente em [0,10]. Portanto, se x1<x2 então
f(x1)<f(x2),
o que garante a injetividade de f.

Resposta

A função f(x)=x^4-1 é injetora em [0,10].

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