Resolva as equações:
(a) 2 x y-sin x+(x^2+e^y) d yd x=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
2x,y - sin x + l(x^2 + e^yr),dydx = 0
e pede a solução geral. Este é um caso típico de equação exata, então vamos verificar a exatidão e, em seguida, encontrar uma função potencial Phi(x,y) tal que
partial Phipartial x = 2x,y - sin x e partial Phipartial y = x^2 + e^y

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = 2x,y - sin x, N(x,y) = x^2 + e^y
Para ser exata, deve valer partial M/partial y = partial N/partial x. Calculamos
partial Mpartial y = 2x, partial Npartial x = 2x
Como são iguais, a equação é exata.

Passo 3

Buscamos Phi(x,y) integrando M em relação a x:
Phi(x,y) = integral l(2x,y - sin xr),dx = integral 2x,y,dx ;-;integral sin x,dx = x^2y + cos x + H(y),
onde H(y) é uma “constante” de integração que pode depender só de y.

Passo 4

Para determinar H(y), usamos a condição partial Phi/partial y = N. Temos
partial Phipartial y = x^2 + H'(y) stackrel!= x^2 + e^y Longrightarrow H'(y) = e^y
Integrando em y, obtemos
H(y) = integral e^y,dy = e^y

Resposta

A solução implícita geral da equação é
x^2y + cos x + e^y = C,
onde C é a constante de integração.

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