Nos exercícios 1-32, (a) determine o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge
(b) absolutamente e (c) condicionalmente?
sumn=0^infty n(x+3)^n5^n

Passo 1

Vamos lá! A gente tem uma série infinita e precisamos descobrir algumas coisas sobre ela. Primeiro, vamos resumir o que a questão pede:
(a) Determinar o raio e o intervalo de convergência da série. Ou seja, descobrir para quais valores de x a série “funciona” e até onde isso acontece.
(b) Verificar para quais valores de x a série converge absolutamente. Convergência absoluta significa que mesmo se você mudar os sinais dos termos da série, ela ainda “funciona”.
(c) Identificar para quais valores de x a série converge condicionalmente. Isso quer dizer que a série converge, mas não de maneira absoluta.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries de potências e o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar o raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a série que temos:
sumn=0^infty n(x+3)^n5^n
Aqui, a nossa série depende de x e é uma série de potências, pois tem a forma sum an (x - c)^n , onde c é o centro da série. Nesse caso, c = -3 .

Passo 3

Para encontrar o raio de convergência, vamos usar o Teste da Razão. Esse teste diz que, para uma série sum an , a série converge se:
limn to infty | an+1an | < 1
Vamos aplicar isso à nossa série.

Passo 4

Vamos considerar an = n(x+3)^n5^n . Então, precisamos calcular:
limn to infty | an+1an | = limn to infty | (n+1)(x+3)^n+1/5^n+1n(x+3)^n/5^n |
Simplificando essa expressão:
= limn to infty | (n+1)n cdot (x+3)^n+1(x+3)^n cdot 5^n5^n+1 |
= limn to infty | (1 + 1n) cdot (x+3) cdot 15 |
À medida que n tende ao infinito, 1n tende a zero. Então:
= | 1 cdot (x+3) cdot 15 | = | x+35 |

Passo 5

Segundo o Teste da Razão, a série converge se esse limite for menor que 1:
| x+35 | < 1
Vamos resolver essa inequação para encontrar os valores de x que satisfazem essa condição.

Passo 6

Resolvendo a inequação:
| x+35 | < 1
Multiplicando os dois lados por 5:
|x + 3| < 5
Isso significa que x + 3 está entre -5 e 5:
-5 < x + 3 < 5
Subtraindo 3 de todas as partes:
-8 < x < 2
Então, o raio de convergência é 5, e o intervalo de convergência é (-8, 2) .

Passo 7

Agora, precisamos verificar o que acontece nas extremidades do intervalo, ou seja, em x = -8 e x = 2 .
Vamos começar com x = -8 :
Substituindo na série:
sumn=0^infty n(-8 + 3)^n5^n = sumn=0^infty n(-5)^n5^n = sumn=0^infty n ( -55 )^n = sumn=0^infty n (-1)^n
Essa série é alternada, mas as condições para convergência absoluta não são atendidas, pois sum |n (-1)^n| = sum n diverge. Além disso, o limite limn to infty n (-1)^n não existe ou não é zero, então a série também não converge condicionalmente em x = -8 .
Agora, para x = 2 :
Substituindo na série:
sumn=0^infty n(2 + 3)^n5^n = sumn=0^infty n(5)^n5^n = sumn=0^infty n = 0 + 1 + 2 + 3 + dots
Essa é uma série que soma todos os números naturais, o que claramente diverge.

Passo 8

Resumindo:
  • O raio de convergência é 5.
  • O intervalo de convergência é (-8, 2) .
  • Nos extremos x = -8 e x = 2 , a série não converge nem absolutamente nem condicionalmente.

Resposta

O raio de convergência da série é 5, e o intervalo de convergência é (-8, 2) . A série converge absolutamente para todos os valores de x no intervalo (-8, 2) e não converge condicionalmente em nenhum ponto desse intervalo.

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