Para uma equação diferencial de segunda ordem da forma
a substituição
leva a uma equação diferencial de primeira ordem da forma
Se essa equação puder ser resolvida para , então pode ser obtida integrando-se , ou seja:
Note que se obtêm uma contante arbitrária ao se resolver a equação de primeira ordem para e uma segunda constante é introduzida na integração para se encontrar .
Use esse método para encontrar uma solução para a equação diferencial:
Escolha uma opção:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A questão nos dá uma equação de segunda ordem:
t^2 y'' + 2 t y' - 1 = 0, t > 0
E nos orienta a usar uma substituição para transformar essa equação em uma de primeira ordem. Para isso, vamos precisar saber sobre equações diferenciais de primeira ordem e como resolver com o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, fazer a substituição indicada. Vamos chamar v = y' . Então, a derivada de v em relação a t é:
v' = y''
Substituindo na equação original:
t^2 v' + 2t v - 1 = 0
Agora, vamos isolar v' :
v' + 2t v = 1t^2
Isso transforma nossa equação em uma equação diferencial de primeira ordem na forma:
v' + P(t) v = Q(t)
Onde P(t) = 2t e Q(t) = 1t^2 .
Passo 3
Para resolver essa equação, usamos o fator integrante, que é dado por: