Para uma equação diferencial de segunda ordem da forma
a substituição
leva a uma equação diferencial de primeira ordem da forma
Se essa equação puder ser resolvida para , então pode ser obtida integrando-se , ou seja:
Note que se obtêm uma contante arbitrária ao se resolver a equação de primeira ordem para e uma segunda constante é introduzida na integração para se encontrar .
Use esse método para encontrar uma solução para a equação diferencial:
Escolha uma opção:


Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A questão nos dá uma equação de segunda ordem:
t^2 y'' + 2 t y' - 1 = 0, t > 0
E nos orienta a usar uma substituição para transformar essa equação em uma de primeira ordem. Para isso, vamos precisar saber sobre equações diferenciais de primeira ordem e como resolver com o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, fazer a substituição indicada. Vamos chamar v = y' . Então, a derivada de v em relação a t é:
v' = y''
Substituindo na equação original:
t^2 v' + 2t v - 1 = 0
Agora, vamos isolar v' :
v' + 2t v = 1t^2
Isso transforma nossa equação em uma equação diferencial de primeira ordem na forma:
v' + P(t) v = Q(t)
Onde P(t) = 2t e Q(t) = 1t^2 .

Passo 3

Para resolver essa equação, usamos o fator integrante, que é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) dt = e^integral 2t dt = e^2 ln t = t^2
Multiplicamos toda a equação por mu(t) :
t^2 v' + 2t v = 1
O lado esquerdo agora é a derivada de t^2 v :
ddt(t^2 v) = 1
Integrando ambos os lados:
t^2 v = t + C1
Onde C1 é a constante de integração. Isolando v :
v = t + C1t^2 = 1t + C1t^2

Passo 4

Lembrando que v = y' , agora precisamos integrar v para encontrar y :
y = integral v , dt = integral ( 1t + C1t^2 ) dt = ln t - C1t + C2
Onde C2 é outra constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = C1t + C2 + ln t

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