Nenhuma das demais alternativas y=52 e^-t-12 e^-3 t y=12 e^t3+8 e^t2
y=e^t
y=-1-e^-3 t
Passo 1
Então, vamos resolver um problema de equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A equação que temos é:
6 y'' - 5 y' + y = 0
E as condições iniciais são:
y(0) = 4 e y'(0) = 0
Isso faz parte da matéria de equações diferenciais lineares homogêneas. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para achar os valores das constantes envolvidas.
Passo 2
Primeiro, precisamos resolver a equação diferencial homogênea:
6 y'' - 5 y' + y = 0
Para isso, vamos encontrar a equação característica associada a essa equação diferencial. A equação característica é obtida substituindo y por e^rt , onde r é uma constante a ser determinada. Fazendo isso:
6 (r)^2 e^rt - 5 (r) e^rt + e^rt = 0
Podemos simplificar dividindo todos os termos por e^rt (que nunca é zero):
6 r^2 - 5 r + 1 = 0
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática característica:
6 r^2 - 5 r + 1 = 0
Para resolver uma equação quadrática da forma ar^2 + br + c = 0 , usamos a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, a = 6 , b = -5 e c = 1 . Calculando o discriminante ( De<a ):
De<a = (-5)^2 - 4 cdot 6 cdot 1 = 25 - 24 = 1
Como De<a > 0 , temos duas raízes reais e distintas:
r = 5 pm raiz112
r1 = 5 + 112 = 612 = 12
r2 = 5 - 112 = 412 = 13
Passo 4
Como temos duas raízes reais e distintas r1 = 12 e r2 = 13 , a solução geral da equação diferencial é dada por:
y(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t
Substituindo os valores de r1 e r2 :
y(t) = C1 e^12 t + C2 e^13 t
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes C1 e C2 .
Primeira condição: y(0) = 4
Substituindo t = 0 na solução geral:
4 = C1 e^0 + C2 e^0 Rightarrow 4 = C1 + C2
Segunda condição: y'(0) = 0
Primeiro, vamos encontrar a derivada de y(t) :
y'(t) = C1 cdot 12 e^12 t + C2 cdot 13 e^13 t
Agora, substituindo t = 0 :
0 = C1 cdot 12 + C2 cdot 13
Passo 6
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
C1 + C2 = 4 12 C1 + 13 C2 = 0
Vamos resolver esse sistema:
Primeiro, da primeira equação:
C1 = 4 - C2
Substituindo na segunda equação:
12 (4 - C2) + 13 C2 = 0
Multiplicando todos os termos por 6 para eliminar os denominadores:
3(4 - C2) + 2 C2 = 0
12 - 3 C2 + 2 C2 = 0
12 - C2 = 0 Rightarrow C2 = 12
Então, substituindo C2 na primeira equação:
C1 + 12 = 4 Rightarrow C1 = -8
Passo 7
Agora que temos os valores de C1 e C2 , podemos escrever a solução específica da equação diferencial: