Encontre a solução do problema de valor inicial.
\left\{\begin{aligned} y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y & =0 \\\ y(0) & =1 \\\ y^{\prime}(0) & =1\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado nos pede a solução do problema de valor inicial para a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y''+y'-2y=0
sujeita às condições
y(0)=1, \quad y'(0)=1.
Para resolver, vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Formamos a equação característica associada à equação diferencial substituindo y=e^{rt}, de modo que
r^2 + r - 2 = 0.

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática
r^2 + r - 2 = 0
usamos a fórmula de Bhaskara:
r = \frac{-1 \pm \sqrt{1+8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}.
Assim, as raízes são
r_1 = 1, \quad r_2 = -2.

Passo 4

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é
y(t) = C_1 e^{t} + C_2 e^{-2t},
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 5

Calculamos a derivada
y'(t) = C_1 e^{t} - 2C_2 e^{-2t}.
Em t=0\), as condições iniciais dão o sistema \[\begin{cases} C_1 + C_2 = 1,\\\ C_1 - 2C_2 = 1. \end{cases}
Subtraindo a segunda da primeira equação obtemos
(C_1 + C_2) - (C_1 - 2C_2) = 1 - 1 \;\Longrightarrow\; 3C_2 = 0 \;\Longrightarrow\; C_2 = 0,
e daí (C_1 = 1].

Passo 6

Substituindo C_1 = 1 e C_2 = 0 na solução geral, obtemos a solução particular do problema de valor inicial:
y(t) = e^{t}.

Resposta

y(t) = e^{t}.

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