Para as equações de 1^{\text {a }} ordem abaixo diga se são exatas ou não. Em caso afirmativo, ache a solução geral.
\left(2 x y^{2}+2 y\right)+\left(2 x^{2} y+2 x\right) y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
\bigl(2x y^{2} + 2y\bigr) \;+\;\bigl(2x^{2}y + 2x\bigr)\,y' \;=\;0
que podemos reescrever na forma
M(x,y)\,dx \;+\;N(x,y)\,dy \;=\;0,
onde
M(x,y)=2x y^{2}+2y \quad\text{e}\quad N(x,y)=2x^{2}y+2x.
O conteúdo aqui é equação exata: vamos verificar se \partial M/\partial y=\partial N/\partial x e, em caso afirmativo, achar a função potencial \Phi(x,y) cuja diferencial total é d\Phi=M\,dx+N\,dy.

Passo 2

Calculemos
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x y^{2}+2y\bigr) =4x y+2
e
\frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x^{2}y+2x\bigr) =4x y+2.
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M(x,y)=2x y^{2}+2y.
Integramos em x:
\Phi(x,y) =\int\bigl(2x y^{2}+2y\bigr)\,dx =x^{2}y^{2}+2xy + h(y),
onde h(y) é função de y a determinar.

Passo 4

Derivando \Phi em relação a y obtemos
\frac{\partial \Phi}{\partial y} =2x^{2}y + 2x + h'(y)
e isso deve ser igual a N(x,y)=2x^{2}y+2x. Logo
2x^{2}y+2x + h'(y)=2x^{2}y+2x \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=0
portanto h(y) é constante. Assim, a solução implícita fica
\Phi(x,y)=x^{2}y^{2}+2xy = C,
com C constante arbitrária.

Resposta

x^{2}y^{2} + 2xy = C.

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