Encontre a solução do problema de valor inicial.
\left\{\begin{aligned} y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+5 y & =0 \\\ y(0) & =1 \\\ y^{\prime}(0) & =0\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + 4y' + 5y = 0,\quad y(0)=1,\quad y'(0)=0.
O conteúdo é EDO linear homogênea com coeficientes constantes. Vamos (1) montar a equação característica, (2) obter as raízes, (3) escrever a solução geral e (4) aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

A equação característica associada é
r^2 + 4r + 5 = 0.
Usando a fórmula de Bhaskara,
r = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4\cdot1\cdot5}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{-4}}{2} = -2 \pm i.

Passo 3

Como as raízes são complexas conjugadas -2\pm i, a solução geral da EDO é
y(x) = e^{-2x}\bigl(C_1\cos x + C_2\sin x\bigr).

Passo 4

Calculamos a derivada de y:
y'(x) = e^{-2x}\Bigl(-2(C_1\cos x + C_2\sin x) + (-C_1\sin x + C_2\cos x)\Bigr).
Em x=0 isso vira
y(0)=C_1=1, \qquad y'(0) = -2C_1 + C_2 = 0.

Passo 5

Da condição y(0)=1 obtivemos C_1=1. Da condição y'(0)=0 vem
-2\cdot1 + C_2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad C_2 = 2.
Substituindo na solução geral, achamos a solução particular.

Resposta

y(x) = e^{-2x}\bigl(\cos x + 2\sin x\bigr).

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