Utilizando a Regra da Cadeia, calcule f^prime(x), sendo
f(x)=ln (xx+1)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=ln!gl(xx+1gr)
usando a Regra da Cadeia. Para isso vamos identificar a função interna
u(x)=xx+1
e depois aplicar derivação de ln(u) junto com a derivação de u(x) (usando Regra do Quociente).

Passo 2

Como f(x)=lnl(u(x)r), pela Regra da Cadeia temos
f'(x)=u'(x)u(x)

Passo 3

Agora derivamos
u(x)=xx+1
pelo Quociente. A fórmula é
u'(x)=(x+1)cdot(1)-xcdot(1)(x+1)^2 =x+1 - x(x+1)^2 =1(x+1)^2

Passo 4

Substituindo em
f'(x)=u'(x)u(x), obtemos
f'(x) =1(x+1)^2xx+1 =1(x+1)^2cdotx+1x =1x(x+1)

Resposta

f'(x)=1x(x+1)

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