Encontre a solução do problema de valor inicial:
l y^prime prime+y^prime-2 y=0 y(0)=1 y^prime(0)=1
Escolha uma opção:
y=3 e^-t+22-e^t+222
y=e^t
y=-1-e^-3 t
Nenhuma das demais alternativas
y=52 e^-t-12 e^-3 t
y=12 e^t3-8 e^t2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de segunda ordem. A gente tem a equação:
y'' + y' - 2y = 0
com as condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 1 $.
Vamos precisar usar o método dos coeficientes constantes para achar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a equação característica da equação diferencial. Para isso, substituímos $ y’’ $ por $ r^2 $, $ y’ $ por $ r $, e $ y $ por 1. Assim, a equação característica fica:
y''

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
r
onde $ a = 1 $, $ b = 1 $, e $ c = -2 $. Substituindo esses valores:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Então, temos duas raízes:
a = 1

Passo 4

Com as raízes $ r_1 = 1 $ e $ r_2 = -2 $, a solução geral da equação diferencial é dada por:
r1 = 1

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, para $ t = 0 $:
C1 çã

Passo 6

Em seguida, vamos calcular a derivada de $ y(t) $:
y(t)
Aplicando a condição inicial $ y’(0) = 1 $:
y'(t) = C1 e^t - 2C2 e^-2t çã

Passo 7

Agora, temos um sistema de duas equações:
C1 + C2 = 1 C1 - 2C2 = 1
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
(C1 - 2C2) - (C1 + C2) = 1 - 1 -3C2 = 0 C2 = 0
Substituindo $ C_2 = 0 $ na Equação 1:
C2 = 0

Passo 8

Com os valores de $ C_1 $ e $ C_2 $ encontrados, a solução particular da equação diferencial é:
C1

Resposta

A solução do problema de valor inicial é $ y(t) = e^{t} $.

Curiosidade

Dando uma olhada nas opções, vemos que a segunda opção:
y(t) = e^t
é exatamente a que achamos!

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