Escolha uma opção: y=3 e^-t+22-e^t+222 y=e^t y=-1-e^-3 t
Nenhuma das demais alternativas y=52 e^-t-12 e^-3 t y=12 e^t3-8 e^t2
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de segunda ordem. A gente tem a equação:
y'' + y' - 2y = 0
com as condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 1 $.
Vamos precisar usar o método dos coeficientes constantes para achar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a equação característica da equação diferencial. Para isso, substituímos $ y’’ $ por $ r^2 $, $ y’ $ por $ r $, e $ y $ por 1. Assim, a equação característica fica:
y''
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
r
onde $ a = 1 $, $ b = 1 $, e $ c = -2 $. Substituindo esses valores:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Então, temos duas raízes:
a = 1
Passo 4
Com as raízes $ r_1 = 1 $ e $ r_2 = -2 $, a solução geral da equação diferencial é dada por:
r1 = 1
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, para $ t = 0 $:
C1 çã
Passo 6
Em seguida, vamos calcular a derivada de $ y(t) $:
y(t)
Aplicando a condição inicial $ y’(0) = 1 $:
y'(t) = C1 e^t - 2C2 e^-2t çã
Passo 7
Agora, temos um sistema de duas equações:
C1 + C2 = 1 C1 - 2C2 = 1
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
(C1 - 2C2) - (C1 + C2) = 1 - 1 -3C2 = 0 C2 = 0
Substituindo $ C_2 = 0 $ na Equação 1:
C2 = 0
Passo 8
Com os valores de $ C_1 $ e $ C_2 $ encontrados, a solução particular da equação diferencial é:
C1
Resposta
A solução do problema de valor inicial é $ y(t) = e^{t} $.
Curiosidade
Dando uma olhada nas opções, vemos que a segunda opção: