Sabendo que f(x) = L - x para 0 < x < 2 L e f(x + 2L) = f(x) para x em R, encontre f(x) para:
© n L < x < (n + 1) L, n em Z.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma função definida no intervalo e que se repete a cada , ou seja, para todo real. A pergunta é: como expressamos no intervalo , onde é um número inteiro? Vamos usar conceitos de funções periódicas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser periódica. Uma função é periódica com período se ela se repete a cada unidades. No nosso caso, o período é , porque . Isso significa que, para qualquer , podemos “andar” de em sem mudar o valor de .

Passo 3

Agora, queremos encontrar no intervalo . Observamos que o período da função é , mas nosso intervalo de interesse é de unidades. Para facilitar, vamos considerar dois casos: quando é par e quando é ímpar. Isso porque a periodicidade de se alinha de formas diferentes dependendo se multiplicamos por um número par ou ímpar.

Passo 4

Caso 1: é par
Se é par, podemos escrever , onde é um inteiro. Então, nosso intervalo fica:
Como a função se repete a cada , podemos “reduzir” dentro do intervalo base :
Dentro do intervalo , sabemos que . Simplificando:
Caso 2: é ímpar
Se é ímpar, podemos escrever . Então, nosso intervalo é:
Novamente, reduzimos usando a periodicidade:
Isso coloca no intervalo , então:

Passo 5

Observando os dois casos, percebemos que ambos podem ser unificados. Seja par ou ímpar, a expressão geral para no intervalo é a mesma:
Isso funciona porque adicionamos ao termo , ajustando a função conforme o intervalo específico de .

Resposta

A função no intervalo é dada por:

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