Sabendo que
para
e
para
, encontre
para:
©
.
©
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma função
definida no intervalo
e que se repete a cada
, ou seja,
para todo
real. A pergunta é: como expressamos
no intervalo
, onde
é um número inteiro? Vamos usar conceitos de funções periódicas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser periódica. Uma função é periódica com período
se ela se repete a cada
unidades. No nosso caso, o período é
, porque
. Isso significa que, para qualquer
, podemos “andar” de
em
sem mudar o valor de
.
Passo 3
Agora, queremos encontrar
no intervalo
. Observamos que o período da função é
, mas nosso intervalo de interesse é de
unidades. Para facilitar, vamos considerar dois casos: quando
é par e quando
é ímpar. Isso porque a periodicidade de
se alinha de formas diferentes dependendo se multiplicamos
por um número par ou ímpar.
Passo 4
Caso 1:
é par
Se
é par, podemos escrever
, onde
é um inteiro. Então, nosso intervalo fica:
Como a função se repete a cada
, podemos “reduzir”
dentro do intervalo base
:
Dentro do intervalo
, sabemos que
. Simplificando:
Caso 2:
é ímpar
Se
é ímpar, podemos escrever
. Então, nosso intervalo é:
Novamente, reduzimos
usando a periodicidade:
Isso coloca
no intervalo
, então:
Passo 5
Observando os dois casos, percebemos que ambos podem ser unificados. Seja
par ou ímpar, a expressão geral para
no intervalo
é a mesma:
Isso funciona porque adicionamos
ao termo
, ajustando a função conforme o intervalo específico de
.
Resposta
A função
no intervalo
é dada por: