Resolva o problema de valor inicial dy/dx = -x/y, y(4) = 3. Que tipo de curva é encontrada com a solução da EDO.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um problema de valor inicial onde a derivada de em relação a é igual a , ou seja:
Esse tipo de problema está dentro de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO). Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e integrar ambos os lados para achar a função . Além disso, vamos identificar que tipo de curva a solução representa.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis:
Aqui, multiplicamos ambos os lados por para isolar e .

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados:
A integral de é e a integral de é . Então:
onde é a constante de integração.

Passo 4

Vamos multiplicar toda a equação por 2 para simplificar:
Podemos rearranjar para:
Isso nos mostra que a solução geral é uma equação de círculo.

Passo 5

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de :

Passo 6

Substituímos de volta na equação geral:
Essa é a equação de um círculo com raio 5 centrado na origem.

Resposta

A solução da EDO é , que representa um círculo de raio 5 centrado na origem.

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