Resolva o problema de valor inicial
. Que tipo de curva é encontrada com a solução da EDO.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um problema de valor inicial onde a derivada de
em relação a
é igual a
, ou seja:
Esse tipo de problema está dentro de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO). Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e integrar ambos os lados para achar a função
. Além disso, vamos identificar que tipo de curva a solução representa.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis:
Aqui, multiplicamos ambos os lados por
para isolar
e
.
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados:
A integral de
é
e a integral de
é
. Então:
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Vamos multiplicar toda a equação por 2 para simplificar:
Podemos rearranjar para:
Isso nos mostra que a solução geral é uma equação de círculo.
Passo 5
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Passo 6
Substituímos
de volta na equação geral:
Essa é a equação de um círculo com raio 5 centrado na origem.
Resposta
A solução da EDO é
, que representa um círculo de raio 5 centrado na origem.