Encontre a solução do problema de valor inicial
2 y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+y=0, \quad y(0)=2, \quad y^{\prime}(0)=\frac{1}{2} .

Passo 1

O enunciado nos dá uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem
2\,y'' - 3\,y' + y = 0
com condições iniciais
y(0) = 2, \quad y'(0) = \tfrac12.
O conteúdo principal é resolver pelo método do polinômio característico.

Passo 2

Escrevemos o polinômio característico associado:
2r^2 - 3r + 1 = 0.
Resolvendo, o discriminante é \Delta = (-3)^2 - 4\cdot2\cdot1 = 1, logo as raízes são
r = \frac{3 \pm 1}{4},
isto é, r_1 = 1 e r_2 = \tfrac12.

Passo 3

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral é
y(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{\tfrac{x}{2}}.

Passo 4

Calculamos a derivada para impor as condições iniciais:
y'(x) = C_1 e^{x} + \tfrac12\,C_2 e^{\tfrac{x}{2}}.
Em x=0 temos o sistema
\begin{cases} C_1 + C_2 = 2,\\\ C_1 + \tfrac12\,C_2 = \tfrac12. \end{cases}

Passo 5

Subtraindo a segunda equação da primeira:
(C_1 + C_2) - \bigl(C_1 + \tfrac12\,C_2\bigr) = 2 - \tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac12\,C_2 = \tfrac32 \;\Longrightarrow\; C_2 = 3.
Então C_1 = 2 - C_2 = 2 - 3 = -1.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é
y(x) = -\,e^{x} + 3\,e^{\tfrac{x}{2}}.

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