(6 pontos) Justifique cada uma das afirmações a seguir, indicando se são Verdadeiras (V) ou Falsas (F). Caso sejam falsas, escreva a forma correta da afirmação.
(a) Se o Wronskiano de duas soluções de uma equação diferencial de segunda ordem é não nulo em todo ponto, então as soluções são linearmente dependentes em todo o intervalo.
(b) No método da variação de parâmetros, não é necessário conhecer a solução geral da equação homogênea associada antes de buscar a solução particular.
(a) Se o Wronskiano de duas soluções de uma equação diferencial de segunda ordem é não nulo em todo ponto, então as soluções são linearmente dependentes em todo o intervalo.
(b) No método da variação de parâmetros, não é necessário conhecer a solução geral da equação homogênea associada antes de buscar a solução particular.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se duas afirmações sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem são Verdadeiras (V) ou Falsas (F), justificando cada resposta. O conteúdo envolve o conceito de Wronskiano e independência linear de soluções e o método da variação de parâmetros, que exige o uso da solução geral da equação homogênea.
Passo 2
(a) A afirmação diz: “Se o Wronskiano de duas soluções de uma equação diferencial de segunda ordem é não nulo em todo ponto, então as soluções são linearmente dependentes em todo o intervalo.” Pela teoria de equações diferenciais, temos o seguinte resultado:
Logo, a afirmação original inverteu o sentido da conclusão, tornando-a falsa.
Passo 3
Forma correta da afirmação (a):
“Se o Wronskiano de duas soluções de uma equação diferencial de segunda ordem é não nulo em todo ponto, então as soluções são linearmente independentes em todo o intervalo.”
“Se o Wronskiano de duas soluções de uma equação diferencial de segunda ordem é não nulo em todo ponto, então as soluções são linearmente independentes em todo o intervalo.”
Passo 4
(b) A afirmação diz: “No método da variação de parâmetros, não é necessário conhecer a solução geral da equação homogênea associada antes de buscar a solução particular.” Na verdade, para aplicar variação de parâmetros precisamos primeiramente de duas soluções independentes
e
da equação homogênea
para montar as fórmulas
onde
é o termo não homogêneo. Sem
e
não dá para prosseguir. Portanto, a afirmação é falsa.
Passo 5
Forma correta da afirmação (b):
“No método da variação de parâmetros, é necessário conhecer duas soluções independentes da equação homogênea associada antes de construir a solução particular.”
“No método da variação de parâmetros, é necessário conhecer duas soluções independentes da equação homogênea associada antes de construir a solução particular.”
Resposta
(a) Falsa. Forma correta: “Se o Wronskiano de duas soluções de uma equação diferencial de segunda ordem é não nulo em todo ponto, então as soluções são linearmente independentes em todo o intervalo.”
(b) Falsa. Forma correta: “No método da variação de parâmetros, é necessário conhecer duas soluções independentes da equação homogênea associada antes de construir a solução particular.”
(b) Falsa. Forma correta: “No método da variação de parâmetros, é necessário conhecer duas soluções independentes da equação homogênea associada antes de construir a solução particular.”