(6 pontos) Justifique cada uma das afirmações a seguir, indicando se são Verdadeiras (V) ou Falsas (F). Caso sejam falsas, escreva a forma correta da afirmação.
(a) Se o Wronskiano de duas soluções de uma equação diferencial de segunda ordem é não nulo em todo ponto, então as soluções são linearmente dependentes em todo o intervalo.
(b) No método da variação de parâmetros, não é necessário conhecer a solução geral da equação homogênea associada antes de buscar a solução particular.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se duas afirmações sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem são Verdadeiras (V) ou Falsas (F), justificando cada resposta. O conteúdo envolve o conceito de Wronskiano e independência linear de soluções e o método da variação de parâmetros, que exige o uso da solução geral da equação homogênea.

Passo 2

(a) A afirmação diz: “Se o Wronskiano de duas soluções de uma equação diferencial de segunda ordem é não nulo em todo ponto, então as soluções são linearmente dependentes em todo o intervalo.” Pela teoria de equações diferenciais, temos o seguinte resultado:
\text{Se }W(y_1,y_2)(x)\neq 0\text{ para todo }x\text{ em um intervalo, então }y_1\text{ e }y_2\text{ são linearmente independentes nesse intervalo.}ãã
Logo, a afirmação original inverteu o sentido da conclusão, tornando-a falsa.

Passo 3

Forma correta da afirmação (a):
“Se o Wronskiano de duas soluções de uma equação diferencial de segunda ordem é não nulo em todo ponto, então as soluções são linearmente independentes em todo o intervalo.”

Passo 4

(b) A afirmação diz: “No método da variação de parâmetros, não é necessário conhecer a solução geral da equação homogênea associada antes de buscar a solução particular.” Na verdade, para aplicar variação de parâmetros precisamos primeiramente de duas soluções independentes y_1 e y_2 da equação homogênea
y'' + p(x)y' + q(x)y = 0
para montar as fórmulas
u_1'(x) = -\frac{y_2(x)\,g(x)}{W(y_1,y_2)(x)}, \quad u_2'(x) = \frac{y_1(x)\,g(x)}{W(y_1,y_2)(x)},
onde g(x) é o termo não homogêneo. Sem y_1 e y_2 não dá para prosseguir. Portanto, a afirmação é falsa.

Passo 5

Forma correta da afirmação (b):
“No método da variação de parâmetros, é necessário conhecer duas soluções independentes da equação homogênea associada antes de construir a solução particular.”

Resposta

(a) Falsa. Forma correta: “Se o Wronskiano de duas soluções de uma equação diferencial de segunda ordem é não nulo em todo ponto, então as soluções são linearmente independentes em todo o intervalo.”
(b) Falsa. Forma correta: “No método da variação de parâmetros, é necessário conhecer duas soluções independentes da equação homogênea associada antes de construir a solução particular.”

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