Exemplo 3

Dado que y_{1}(t)=t^{-1} é uma solução de
2 t^{2} y^{\prime \prime}+3 t y^{\prime}-y=0, \quad t>0
encontre uma segunda solução linearmente independente.
Vamos fazer y=v(t) t^{-1}; então
y^{\prime}=v^{\prime} t^{-1}-v t^{-2}, \quad y^{\prime \prime}=v^{\prime \prime} t^{-1}-2 v^{\prime} t^{-2}+2 v t^{-3}
Substituindo y, y^{\prime} e y^{\prime \prime} na Eq. (31) e juntando os termos, obtemos
\begin{aligned} & 2 t^{2}\left(v^{\prime \prime} t^{-1}-2 v^{\prime} t^{-2}+2 v t^{-3}\right)+3 t\left(v^{\prime} t^{-1}-v t^{-2}\right)-v t^{-1} \\\ & \quad=2 t v^{\prime \prime}+(-4+3) v^{\prime}+\left(4 t^{-1}-3 t^{-1}-t^{-1}\right) v \\\ & \quad=2 t v^{\prime \prime}-v^{\prime}=0 \end{aligned}
Note que o coeficiente de v é nulo, como deveria; isso nos dá um ponto útil de verificação dos nossos cálculos.
Separando as variáveis na Eq. (32) e resolvendo para encontramos
v^{\prime}(t)=c t^{1 / 2}
então,
v(t)=\frac{2}{3} c t^{3 / 2}+k .
Segue que
y=\frac{2}{3} c t^{1 / 2}+k t^{-1},
onde c e k são constantes arbitrárias. A segunda parcela naz (33) é um múltiplo de y_{1} e pode ser retirada, mas a primeira cela nos dá uma solução nova independente. Desprezando a tante multiplicativa, temos y_{2}=t^{1 / 2}.

Passo 1

O enunciado fornece a equação de Euler
2\,t^{2}y''+3\,t\,y'-y=0,\quad t>0,
e diz que uma solução é y_{1}(t)=t^{-1}. O objetivo é achar uma segunda solução y_{2}(t) linearmente independente de y_{1}. Para isso, usaremos o método de redução de ordem, supondo
y(t)=v(t)\,y_{1}(t)=v(t)\,t^{-1}.

Passo 2

Calculemos as derivadas de y:
y'=v'\,t^{-1}-v\,t^{-2},
y''=v''\,t^{-1}-2\,v'\,t^{-2}+2\,v\,t^{-3}.

Passo 3

Substituindo y, y' e y'' na equação original:
2\,t^{2}\bigl(v''\,t^{-1}-2\,v'\,t^{-2}+2\,v\,t^{-3}\bigr) +3\,t\bigl(v'\,t^{-1}-v\,t^{-2}\bigr)-v\,t^{-1}=0.
Agrupando termos obtemos
2\,t\,v''+(-4+3)\,v'+(4t^{-1}-3t^{-1}-t^{-1})\,v =2\,t\,v''-v'=0,
e, como esperado, o coeficiente de v anula-se.

Passo 4

Defina w=v'. A equação 2\,t\,v''-v'=0 vira
2\,t\,w'-w=0.
Isto é uma EDO de primeira ordem que se resolve por separação:
\frac{dw}{w}=\frac{dt}{2\,t} \quad\Longrightarrow\quad \ln w=\tfrac12\ln t+\ln c \quad\Longrightarrow\quad w=v'=c\,t^{1/2}.
Integrando novamente,
v(t)=\int c\,t^{1/2}\,dt =\frac{2}{3}\,c\,t^{3/2}+k,
onde c e k são constantes.

Passo 5

Voltemos a y=v\,t^{-1}:
y(t) =\Bigl(\tfrac{2}{3}c\,t^{3/2}+k\Bigr)\,t^{-1} =\tfrac{2}{3}c\,t^{1/2}+k\,t^{-1}.
O termo k\,t^{-1} é múltiplo de y_{1} e não gera solução nova. A parte independente de y_{1} é
y_{2}(t)=t^{1/2}.

Resposta

y_{2}(t)=t^{1/2}.

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