Exemplo 3
Dado que
é uma solução de
encontre uma segunda solução linearmente independente.
Vamos fazer
; então
Substituindo
e
na Eq. (31) e juntando os termos, obtemos
Note que o coeficiente de
é nulo, como deveria; isso nos dá um ponto útil de verificação dos nossos cálculos.
Separando as variáveis na Eq. (32) e resolvendo para encontramos
então,
Segue que
onde
e
são constantes arbitrárias. A segunda parcela naz (33) é um múltiplo de
e pode ser retirada, mas a primeira cela nos dá uma solução nova independente. Desprezando a tante multiplicativa, temos
.
Vamos fazer
Passo 1
O enunciado fornece a equação de Euler
e diz que uma solução é
. O objetivo é achar uma segunda solução
linearmente independente de
. Para isso, usaremos o método de redução de ordem, supondo
Passo 2
Calculemos as derivadas de
:
Passo 3
Substituindo
,
e
na equação original:
Agrupando termos obtemos
e, como esperado, o coeficiente de
anula-se.
Passo 4
Defina
. A equação
vira
Isto é uma EDO de primeira ordem que se resolve por separação:
Integrando novamente,
onde
e
são constantes.
Passo 5
Voltemos a
:
O termo
é múltiplo de
e não gera solução nova. A parte independente de
é