(8 pontos) Para a equação:
Encontre os primeiros 7 termos não nulos da solução em série centrada em
.
Passo 1
O enunciado pede a solução em série em torno de
da EDO
O método de séries de potência consiste em assumir
e usar a expansão da parte analítica
em torno de
:
Vamos aplicar essas séries na equação para obter uma relação de recorrência entre os
.
Passo 2
Escrevemos
e
Na equação
alinhamos potências de
com
e obtemos
Como essa soma deve ser nula para todo
, o coeficiente de cada
se anula.
Passo 3
Dessa anulação de coeficientes segue a relação de recorrência
Os termos iniciais
e
ficam livres (são as constantes de integração). A partir dessa fórmula, calculamos os coeficientes de ordem crescente.
Passo 4
Para
:
Para
:
Passo 5
Para
:
Para
:
Passo 6
Para
:
Para
:
Passo 7
Reunindo os termos até ordem
(isto é, os sete primeiros termos não nulos):
Os primeiros sete termos não nulos (em ordem de crescente potência) são:
Resposta
Os sete primeiros termos não nulos da solução em série geral são