(8 pontos) Para a equação:
y^{\prime \prime}+(\cos x) y=0
Encontre os primeiros 7 termos não nulos da solução em série centrada em x_{0}=0.

Passo 1

O enunciado pede a solução em série em torno de x_{0}=0 da EDO
y''+(\cos x)\,y=0.
O método de séries de potência consiste em assumir
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\,x^{n},
e usar a expansão da parte analítica \cos x em torno de 0:
\cos x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{(2k)!}\,x^{2k}.
Vamos aplicar essas séries na equação para obter uma relação de recorrência entre os a_{n}.

Passo 2

Escrevemos
y''(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\,n(n-1)\,x^{n-2},
e
(\cos x)\,y(x) =\Bigl(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{(2k)!}\,x^{2k}\Bigr) \Bigl(\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\,x^{n}\Bigr) =\sum_{m=0}^{\infty}\Bigl(\sum_{k=0}^{\lfloor m/2\rfloor}\frac{(-1)^{k}}{(2k)!}\,a_{\,m-2k}\Bigr)x^{m}.
Na equação y''+(\cos x)\,y=0 alinhamos potências de x^{N} com N=m e obtemos
\sum_{N=0}^{\infty}\Bigl[a_{N+2}(N+2)(N+1) +\sum_{k=0}^{\lfloor N/2\rfloor}\frac{(-1)^{k}}{(2k)!}\,a_{\,N-2k}\Bigr]x^{N}=0.
Como essa soma deve ser nula para todo x, o coeficiente de cada x^{N} se anula.

Passo 3

Dessa anulação de coeficientes segue a relação de recorrência
a_{N+2} =-\frac{1}{(N+2)(N+1)} \sum_{k=0}^{\lfloor N/2\rfloor}\frac{(-1)^{k}}{(2k)!}\;a_{\,N-2k}, \quad N\ge0.
Os termos iniciais a_{0} e a_{1} ficam livres (são as constantes de integração). A partir dessa fórmula, calculamos os coeficientes de ordem crescente.

Passo 4

Para N=0:
a_{2} =-\frac{1}{2\cdot1}\Bigl(\frac{(-1)^{0}}{0!}\,a_{0}\Bigr) =-\frac{a_{0}}{2}.
Para N=1:
a_{3} =-\frac{1}{3\cdot2}\Bigl(\frac{(-1)^{0}}{0!}\,a_{1}\Bigr) =-\frac{a_{1}}{6}.

Passo 5

Para N=2:
a_{4} =-\frac{1}{4\cdot3}\Bigl(\frac{(-1)^{0}}{0!}\,a_{2} +\frac{(-1)^{1}}{2!}\,a_{0}\Bigr) =-\frac{1}{12}\Bigl(a_{2}-\frac{a_{0}}{2}\Bigr) =-\frac{1}{12}\Bigl(-\frac{a_{0}}{2}-\frac{a_{0}}{2}\Bigr) =\frac{a_{0}}{12}.
Para N=3:
a_{5} =-\frac{1}{5\cdot4}\Bigl(a_{3}-\frac{a_{1}}{2}\Bigr) =-\frac{1}{20}\Bigl(-\frac{a_{1}}{6}-\frac{a_{1}}{2}\Bigr) =\frac{a_{1}}{30}.

Passo 6

Para N=4:
a_{6} =-\frac{1}{6\cdot5}\Bigl(a_{4}-\frac{a_{2}}{2}+\frac{a_{0}}{24}\Bigr) =-\frac{1}{30}\Bigl(\frac{a_{0}}{12}-\frac{(-a_{0}/2)}{2}+\frac{a_{0}}{24}\Bigr) =-\frac{a_{0}}{80}.
Para N=5:
a_{7} =-\frac{1}{7\cdot6}\Bigl(a_{5}-\frac{a_{3}}{2}+\frac{a_{1}}{24}\Bigr) =-\frac{19\,a_{1}}{5040}.

Passo 7

Reunindo os termos até ordem x^{6} (isto é, os sete primeiros termos não nulos):
y(x) =a_{0}\Bigl[1-\tfrac{1}{2}x^{2}+\tfrac{1}{12}x^{4}-\tfrac{1}{80}x^{6}+\cdots\Bigr] +a_{1}\Bigl[x-\tfrac{1}{6}x^{3}+\tfrac{1}{30}x^{5}-\tfrac{19}{5040}x^{7}+\cdots\Bigr].
Os primeiros sete termos não nulos (em ordem de crescente potência) são:
a_{0},\quad a_{1}x,\quad -\tfrac{a_{0}}{2}x^{2},\quad -\tfrac{a_{1}}{6}x^{3},\quad \tfrac{a_{0}}{12}x^{4},\quad \tfrac{a_{1}}{30}x^{5},\quad -\tfrac{a_{0}}{80}x^{6}.

Resposta

Os sete primeiros termos não nulos da solução em série geral são
y(x) =a_{0}\Bigl[1-\tfrac{1}{2}x^{2}+\tfrac{1}{12}x^{4}-\tfrac{1}{80}x^{6}+\cdots\Bigr] +a_{1}\Bigl[x-\tfrac{1}{6}x^{3}+\tfrac{1}{30}x^{5}+\cdots\Bigr].

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