(a) Se a>0 e c>0, mas b=0, mostre que o resultado do Problema 38 não é mais válido, mas que todas as soluções permanecem limitadas quando t \rightarrow \infty.
(b) Se a>0 \mathrm{e} b>0, mas c=0, mostre que o resultado do Problema 38 não é mais válido, mas que todas as soluções tendem a uma constante, que depende da condição inicial, quando t \rightarrow \infty. Determinar esta constante para a condição inicial y(0)=y_{0}, y^{\prime}(0)=y_{0}^{\prime}.

Passo 1

O enunciado trata da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
a\,y'' + b\,y' + c\,y = 0
e lembra que, pelo Problema 38, se a>0, b>0 e c>0 então todas as soluções satisfazem
\lim_{t\to\infty}y(t)=0. Vamos verificar o que ocorre quando um destes coeficientes se anula, mantendo os outros positivos.

Passo 2

Suponha a>0, c>0 e b=0. Então a equação fica
a\,y'' + c\,y = 0 \;\Longleftrightarrow\; y'' + \frac{c}{a}\,y = 0.
Trata-se do oscilador harmônico de frequência
\displaystyle \omega = \sqrt{\frac{c}{a}},
cuja solução geral é
y(t) = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t).
Como \bigl|y(t)\bigr|\le \sqrt{A^2+B^2} para todo t, as soluções são limitadas, mas em geral não tendem a zero. Logo, o resultado do Problema 38 (decrescimento a zero) deixa de valer, mas permanece a propriedade de serem limitadas.

Passo 3

Suponha a>0, b>0 e c=0. A equação torna-se
a\,y'' + b\,y' = 0 \;\Longleftrightarrow\; y'' + \frac{b}{a}\,y' = 0.
Defina z(t)=y'(t). Então
z' + \frac{b}{a}\,z = 0 \quad\Longrightarrow\quad z(t) = y'_0 \,e^{-\frac{b}{a}t}.
Integramos para y:
y(t) = y_0 + \int_{0}^{t}y'_0\,e^{-\frac{b}{a}s}\,ds = y_0 + \frac{a}{b}\,y'_0\Bigl(1-e^{-\frac{b}{a}t}\Bigr).
Dessa forma
\displaystyle \lim_{t\to\infty}y(t) = y_0 + \frac{a}{b}\,y'_0,
uma constante que depende da condição inicial.

Resposta

(a) As soluções são
y(t) = A\cos\!\Bigl(\sqrt{\tfrac{c}{a}}\,t\Bigr) + B\sin\!\Bigl(\sqrt{\tfrac{c}{a}}\,t\Bigr),
elas permanecem limitadas mas não tendem a zero.
(b) As soluções são
y(t) = y_0 + \frac{a}{b}\,y'_0\Bigl(1-e^{-\frac{b}{a}t}\Bigr),
e satisfazem
\displaystyle \lim_{t\to\infty}y(t) = y_0 + \frac{a}{b}\,y'_0.

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