(a) Se a>0 e c>0, mas b=0, mostre que o resultado do Problema 38 não é mais válido, mas que todas as soluções permanecem limitadas quando t \rightarrow \infty.
(b) Se a>0 \mathrm{e} b>0, mas c=0, mostre que o resultado do Problema 38 não é mais válido, mas que todas as soluções tendem a uma constante, que depende da condição inicial, quando t \rightarrow \infty. Determinar esta constante para a condição inicial y(0)=y_{0}, y^{\prime}(0)=y_{0}^{\prime}.
Passo 1
O enunciado trata da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
a\,y'' + b\,y' + c\,y = 0
e lembra que, pelo Problema 38, se a>0, b>0 e c>0 então todas as soluções satisfazem \lim_{t\to\infty}y(t)=0. Vamos verificar o que ocorre quando um destes coeficientes se anula, mantendo os outros positivos.
Trata-se do oscilador harmônico de frequência \displaystyle \omega = \sqrt{\frac{c}{a}},
cuja solução geral é
y(t) = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t).
Como \bigl|y(t)\bigr|\le \sqrt{A^2+B^2} para todo t, as soluções são limitadas, mas em geral não tendem a zero. Logo, o resultado do Problema 38 (decrescimento a zero) deixa de valer, mas permanece a propriedade de serem limitadas.