- Encontre a solução do problema de vibrações de uma corda elástica
Passo 1
O enunciado trata do problema de vibração de uma corda elástica de comprimento
1 com as extremidades fixas, modelado pela equação da onda unidimensional
com condições de contorno
e condições iniciais
O conteúdo é solução da equação da onda por separação de variáveis e expansão em série de Fourier em senos.
Passo 2
Usamos a forma geral da solução via separação de variáveis e expansão em autossoluções senoidais que satisfazem as condições de contorno fixas:
Como
ut(x,0)=0 , segue que
Para
u(x,0)=f(x) obtemos
de onde, pela ortogonalidade de
sin(npi x) ,
Passo 3
Vamos calcular
Defina
então
An=4(I1+I2) .
Passo 4
Usando integração por partes com
u=x ,
dv=sin(npi x),dx em
I1 e com
u=1-x ,
dv=sin(npi x),dx em
I2 , encontra‐se
Logo
Passo 5
Note que
sin(npi/2)=0 para
n par e alterna
pm1 para
n ímpar. Assim só os modos ímpares contribuem, com
e
An=0 se
n é par.
Passo 6
Portanto a solução final é