1. Encontre a solução do problema de vibrações de uma corda elástica
ux x=ut t ; & 0<x<1, t>0 u(0, t)=0, u(1, t)=0 ; & t>0 u(x, 0)= 2 x ; & 0 <= x<1 / 2 2(1-x) ; & 1 / 2 <= x <= 1 ut(x, 0)=0 ; & 0<x<1

Passo 1

O enunciado trata do problema de vibração de uma corda elástica de comprimento 1 com as extremidades fixas, modelado pela equação da onda unidimensional
utt = uxx, 0<x<1,;t>0,
com condições de contorno
u(0,t)=0, u(1,t)=0,
e condições iniciais
u(x,0)=f(x)= 2x,&0<= x<tfrac12, 2(1-x),&tfrac12<= x<=1, ut(x,0)=0
O conteúdo é solução da equação da onda por separação de variáveis e expansão em série de Fourier em senos.

Passo 2

Usamos a forma geral da solução via separação de variáveis e expansão em autossoluções senoidais que satisfazem as condições de contorno fixas:
u(x,t)=sumn=1^inftyl(Ancos(npi t)+Bnsin(npi t)r)sin(npi x)
Como ut(x,0)=0, segue que
Bn=2npiintegral0^1ut(x,0)sin(npi x),dx=0forall n
Para u(x,0)=f(x) obtemos
sumn=1^infty Ansin(npi x)=f(x),
de onde, pela ortogonalidade de sin(npi x),
An=2integral0^1f(x)sin(npi x),dx

Passo 3

Vamos calcular
An=2l(integral0^1/22xsin(npi x),dx+integral1/2^12(1-x)sin(npi x),dxr)
Defina
I1=integral0^1/2xsin(npi x),dx, I2=integral1/2^1(1-x)sin(npi x),dx,
então An=4(I1+I2).

Passo 4

Usando integração por partes com u=x, dv=sin(npi x),dx em I1 e com u=1-x, dv=sin(npi x),dx em I2, encontra‐se
I1+I2 =2n^2pi^2sin!(tfracnpi2)
Logo
An=4cdot2n^2pi^2sin!(tfracnpi2) =8n^2pi^2sin!(tfracnpi2)

Passo 5

Note que sin(npi/2)=0 para n par e alterna pm1 para n ímpar. Assim só os modos ímpares contribuem, com
An=8n^2pi^2,(-1)^n-12, n=1,3,5,dots
e An=0 se n é par.

Passo 6

Portanto a solução final é

Resposta

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