- Encontre a solução do problema de vibrações de uma corda elástica
Passo 1
O enunciado é o problema de vibração de uma corda com comprimento 1, regido pela equação de onda unidimensional
com condições de contorno fixas
condição inicial de deslocamento nulo
e condição inicial de velocidade dada por
O método será separação de variáveis e expansão em série de senos.
Passo 2
Pela separação de variáveis, buscamos
Como
u(x,0)=0 , temos
Fica então
Para determinar
bn usamos a condição
ut(x,0)=g(x) , que implica
Multiplicando ambos os lados por
sin(mpi x) e integrando de 0 a 1, obtemos
portanto
Passo 3
Calculamos a integral
Fazendo integração por partes em cada parcela chega-se a
Passo 4
Substituindo em
bn resulta
Observando que
sin(npi/2)=0 para
n par e
sin((2k+1)pi/2)=(-1)^k , só permanecem os modos ímpares.
Passo 5
Logo a solução final é