1. Encontre a solução do problema de vibrações de uma corda elástica
ux x=ut t ; & 0<x<1, t>0 u(0, t)=0, u(1, t)=0 ; & t>0 u(x, 0)=0 ; & 0<x<1 ut(x, 0)= 2 x ; & 0 <= x<1 / 2 2(1-x) ; & 1 / 2 <= x <= 1 &

Passo 1

O enunciado é o problema de vibração de uma corda com comprimento 1, regido pela equação de onda unidimensional
utt=uxx, 0<x<1,;t>0,
com condições de contorno fixas
u(0,t)=0, u(1,t)=0,
condição inicial de deslocamento nulo
u(x,0)=0,
e condição inicial de velocidade dada por
ut(x,0)=g(x)= 2x,&0<= x<tfrac12, 2(1-x),&tfrac12<= x<=1
O método será separação de variáveis e expansão em série de senos.

Passo 2

Pela separação de variáveis, buscamos
u(x,t)=sumn=1^inftyl(ancos(npi t)+bnsin(npi t)r)sin(npi x)
Como u(x,0)=0, temos
sumn=1^infty ansin(npi x)=0Longrightarrow an=0forall n
Fica então
u(x,t)=sumn=1^infty bnsin(npi t),sin(npi x)
Para determinar bn usamos a condição ut(x,0)=g(x), que implica
ut(x,0)=sumn=1^infty bn,npi,sin(npi x)=g(x)
Multiplicando ambos os lados por sin(mpi x) e integrando de 0 a 1, obtemos
bm,mpi=;2integral0^1g(x)sin(mpi x), dx,
portanto
bn=2npiintegral0^1g(x)sin(npi x), dx

Passo 3

Calculamos a integral
In=integral0^1g(x)sin(npi x), dx =integral0^1/22xsin(npi x), dx +integral1/2^12(1-x)sin(npi x), dx
Fazendo integração por partes em cada parcela chega-se a
integral0^1g(x)sin(npi x), dx =4n^2pi^2sin!l(tfracnpi2r)

Passo 4

Substituindo em bn resulta
bn =2npi,4n^2pi^2sin!l(tfracnpi2r) =8n^3pi^3,sin!l(tfracnpi2r)
Observando que sin(npi/2)=0 para n par e sin((2k+1)pi/2)=(-1)^k, só permanecem os modos ímpares.

Passo 5

Logo a solução final é
u(x,t) =sumn=1^infty bn,sin(npi x),sin(npi t) =sumk=0^infty 8(-1)^k(2k+1)^3pi^3, sinl((2k+1)pi xr),sinl((2k+1)pi tr)

Resposta

boxed u(x,t) =8pi^3sumk=0^infty(-1)^k(2k+1)^3, sinl((2k+1)pi xr),sinl((2k+1)pi tr)

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