Encontre a solução dos problemas abaixo:
y^{\prime \prime}+4 y=3 e^{t}, y(0)=0 e y^{\prime}(0)=2

Passo 1

Resumimos o enunciado: resolver a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 4y = 3e^t,
sujeita às condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=2. Vamos usar o método geral de solução, que consiste em achar a solução homogênea y_h e uma solução particular y_p.

Passo 2

Para obter a solução homogênea, consideramos a equação associada
y'' + 4y = 0.
A equação característica é
r^2 + 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad r = \pm 2i.
Logo,
y_h(t) = A\cos(2t) + B\sin(2t),
com constantes A e B.

Passo 3

Procuramos uma solução particular do tipo y_p(t)=C e^t. Então
y_p'' = C e^t,
e substituindo em y'' + 4y = 3e^t obtemos
C e^t + 4C e^t = 5C e^t = 3e^t \quad\Longrightarrow\quad C = \frac{3}{5}.
Portanto
y_p(t) = \frac{3}{5}e^t.

Passo 4

A solução geral é
y(t) = A\cos(2t) + B\sin(2t) + \frac{3}{5}e^t.
Aplicando y(0)=0:
y(0) = A + \frac{3}{5} = 0 \quad\Longrightarrow\quad A = -\frac{3}{5}.

Passo 5

Calculamos a derivada
y'(t) = -2A\sin(2t) + 2B\cos(2t) + \frac{3}{5}e^t.
Em t=0 temos
y'(0) = 2B + \frac{3}{5} = 2 \quad\Longrightarrow\quad 2B = 2 - \frac{3}{5} = \frac{7}{5} \quad\Longrightarrow\quad B = \frac{7}{10}.

Passo 6

Substituindo A e B na solução geral, obtemos
y(t) = -\frac{3}{5}\cos(2t) + \frac{7}{10}\sin(2t) + \frac{3}{5}e^t.

Resposta

y(t) = -\frac{3}{5}\cos(2t) + \frac{7}{10}\sin(2t) + \frac{3}{5}e^t.

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