Encontre a solução dos problemas abaixo:
y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+6 y=\cos t, y(0)=0 e y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'' - 5y' + 6y = \cos t
com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0. O método será:
  1. Encontrar a solução da homogênea associada.
  2. Achar uma particular por coeficientes indeterminados.
  3. Combinar e aplicar as condições iniciais.

Passo 2

A parte homogênea é
y'' - 5y' + 6y = 0.
A equação característica é
r^{2} - 5r + 6 = 0
com raízes r=2 e r=3. Logo a solução homogênea é
y_{h}(t) = C_{1}e^{2t} + C_{2}e^{3t}.

Passo 3

Para a solução particular usamos o método dos coeficientes indeterminados. Como o termo forçante é \cos t, tentamos
y_{p}(t) = A\cos t + B\sin t.
Calculamos as derivadas:
y_{p}' = -A\sin t + B\cos t,\qquad y_{p}'' = -A\cos t - B\sin t.
Substituindo em y''-5y'+6y=\cos t obtém-se
(-A\cos t -B\sin t) -5(-A\sin t + B\cos t) +6(A\cos t + B\sin t) = \cos t.
Agrupando termos de \cos t e \sin t vem
(5A - 5B)\cos t + (5A + 5B)\sin t = \cos t.

Passo 4

Comparando coeficientes em \cos t\) e \(\sin t\) temos o sistema \[\begin{cases} 5A - 5B = 1,\\\\ 5A + 5B = 0. \end{cases}
Da segunda equação (B = -A]. Substituindo na primeira dá
5A - 5(-A) = 1 \;\Longrightarrow\; 10A = 1 \;\Longrightarrow\; A = \tfrac{1}{10},\; B = -\tfrac{1}{10}.
Assim
y_{p}(t) = \tfrac{1}{10}\cos t \;-\;\tfrac{1}{10}\sin t.

Passo 5

A solução geral é
y(t) = C_{1}e^{2t} + C_{2}e^{3t} + \tfrac{1}{10}(\cos t - \sin t).
Para aplicar as condições iniciais precisamos de y'(t):
y'(t) = 2C_{1}e^{2t} + 3C_{2}e^{3t} + \tfrac{1}{10}(-\sin t - \cos t).
Em t=0 temos
y(0)=C_{1}+C_{2}+\tfrac{1}{10}=0, \quad y'(0)=2C_{1}+3C_{2}-\tfrac{1}{10}=0.

Passo 6

O sistema para C_{1},C_{2}\) é \[\begin{cases} C_{1} + C_{2} = -\tfrac{1}{10},\\\\ 2C_{1} + 3C_{2} = \tfrac{1}{10}. \end{cases}
Da primeira equação (C_{1} = -\tfrac{1}{10}-C_{2}]. Substituindo na segunda:
2\bigl(-\tfrac{1}{10}-C_{2}\bigr)+3C_{2} = \tfrac{1}{10} \;\Longrightarrow\;- \tfrac{2}{10} + C_{2} = \tfrac{1}{10} \;\Longrightarrow\;C_{2} = \tfrac{3}{10},
C_{1} = -\tfrac{1}{10} - \tfrac{3}{10} = -\tfrac{4}{10} = -\tfrac{2}{5}.

Resposta

\boxed{ y(t) = -\tfrac{2}{5}e^{2t} + \tfrac{3}{10}e^{3t} + \tfrac{1}{10}\bigl(\cos t - \sin t\bigr). }

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