Encontre a solução dos problemas abaixo: y^{\prime \prime}-+9 y^{\prime}=t^{2}+\operatorname{sen} t, y(0)=1 e y^{\prime}(0)=0
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 9\,y' = t^{2} + \operatorname{sen} t
sujeita às condições iniciais
y(0)=1,\quad y'(0)=0.
O conteúdo é resolução de EDO não homogênea por soma da solução geral da homogênea e de uma particular. Vamos precisar:
Encontrar y_{h} resolvendo a equação homogênea y''+9y'=0.
Propor um anstaz para y_{p} cobrindo o termo polinomial t^{2} e o termo trigonométrico \operatorname{sen} t.
Ajustar constantes pelo sistema dado por y(0) e y'(0).
Passo 2
Para a homogênea
y'' + 9y' = 0
montamos o polinômio característico
r^{2} + 9r = r\,(r+9) = 0
cuja raiz dupla simples é r_{1}=0 e r_{2}=-9. Logo
y_{h}(t) = C_{1} + C_{2}\,e^{-9t}.
Passo 3
Agora procuramos uma solução particular da forma
y_{p}(t) = A\,t^{3} + B\,t^{2} + C\,t \;+\; E\,\operatorname{sen} t + F\,\cos t.
A parte polinomial tem grau 2, mas como r=0 é raiz da homogênea com multiplicidade 1, elevamos o grau em 1, passando a grau 3 sem termo constante livre.
Passo 4
Calculamos as derivadas:
\begin{aligned} y_{p}'(t)&=3A\,t^{2}+2B\,t+C \;+\; E\,\cos t \;-\;F\,\operatorname{sen} t,\\\ y_{p}''(t)&=6A\,t+2B \;-\;E\,\operatorname{sen} t \;-\;F\,\cos t. \end{aligned}
Substituindo em y''+9y' e igualando a t^{2}+\operatorname{sen} t, obtemos o sistema para A,B,C,E,F.
Passo 5
Reunindo coeficientes de potências de t, de \operatorname{sen} t e de \cos t, tem-se
\underbrace{27A}_{t^{2}}\,t^{2} \;+\;\underbrace{(6A+18B)}_{t}\,t \;+\;\underbrace{(2B+9C)}_{t^{0}} \;+\;\underbrace{(-9F -E)}_{\operatorname{sen} t}\,\operatorname{sen} t \;+\;\underbrace{(9E -F)}_{\cos t}\,\cos t = t^{2} + \operatorname{sen} t.
Portanto
\begin{cases} 27A = 1,\\\\ 6A + 18B = 0,\\\\ 2B + 9C = 0,\\\\ -9F - E = 1,\\\\ 9E - F = 0. \end{cases}
Dessas equações segue
A = \frac1{27},\quad B = -\frac1{81},\quad C = \frac{2}{729},\quad E = -\frac1{82},\quad F = -\frac{9}{82}.
Passo 6
Assim a solução geral é
y(t) = C_{1} + C_{2}\,e^{-9t} \;+\;\biggl(\frac{t^{3}}{27} - \frac{t^{2}}{81} + \frac{2\,t}{729}\biggr) \;-\;\frac{1}{82}\operatorname{sen} t \;-\;\frac{9}{82}\cos t.
y'(t) = -9\,C_{2}\,e^{-9t} \;+\;\Bigl(\frac{1}{9}t^{2}-\frac{2}{81}t+\frac{2}{729}\Bigr) \;-\;\frac{1}{82}\cos t \;+\;\frac{9}{82}\operatorname{sen} t.