Verifique se as equações são exatas, caso seja, determine as soluções:
\left.(2 x+3)+(2 y-2) y^{\prime}\right) y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(2x+3)+(2y-2)\,y'=0
que podemos escrever na forma diferencial
(2x+3)\,dx + (2y-2)\,dy = 0.
O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas: precisamos identificar
M(x,y) = 2x+3, \quad N(x,y) = 2y-2,
e verificar se \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2x+3) = 0, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(2y-2) = 0.
Como \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}, a equação é exata.

Passo 3

Por ser exata, existe uma função \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x} = M(x,y) \quad\text{e}\quad \frac{\partial \psi}{\partial y} = N(x,y).
Integramos M em relação a x:
\psi(x,y) = \int (2x+3)\,dx = x^2 + 3x + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.

Passo 4

Para determinar h(y), diferenciamos \psi em relação a y e igualamos a N(x,y):
\frac{\partial \psi}{\partial y} = h'(y) \stackrel{!}{=} 2y-2 \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=2y-2 \quad\Longrightarrow\quad h(y)=y^2-2y.
Logo
\psi(x,y) = x^2 + 3x + y^2 - 2y.

Resposta

A solução geral é dada por
x^2 + 3x + y^2 - 2y = C,
com C constante de integração.

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