Verifique se as equações são exatas, caso seja, determine as soluções:
\left(3 x^{2}-2 x y+2\right)+\left(6 y^{2}-x^{2}+3\right) y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial na forma
M(x,y) + N(x,y)\,y' = 0,
com
M(x,y) = 3x^{2} - 2xy + 2, \quad N(x,y) = 6y^{2} - x^{2} + 3.
O objetivo é verificar se ela é exata (isto é, se existe uma função potencial \Psi(x,y) tal que \Psi_x = M e \Psi_y = N) e, em caso positivo, determinar a solução geral implícita \Psi(x,y)=C.

Passo 2

Para testar exatidão, comparamos
\frac{\partial M}{\partial y} \quad\text{e}\quad \frac{\partial N}{\partial x}.
Calculando:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(3x^{2}-2xy+2) = -2x,
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(6y^{2}-x^{2}+3) = -2x.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Sabendo que existe \Psi(x,y) tal que \Psi_x = M, integramos M em relação a x:
\Psi(x,y) = \int (3x^{2}-2xy+2)\,dx = x^{3} - x^{2}y + 2x + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Agora impomos \Psi_y = N. Calculamos
\Psi_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3} - x^{2}y + 2x + h(y)\bigr) = -x^{2} + h'(y).
Igualando a N(x,y):
-x^{2} + h'(y) = 6y^{2} - x^{2} + 3 \quad\Longrightarrow\quad h'(y) = 6y^{2} + 3.
Integramos h'(y) em relação a y:
h(y) = \int(6y^{2}+3)\,dy = 2y^{3} + 3y + \text{constante}.

Passo 5

Substituindo h(y) em \Psi(x,y), obtemos a função potencial completa:
\Psi(x,y) = x^{3} - x^{2}y + 2x + 2y^{3} + 3y.
A solução geral implícita da equação diferencial é
\Psi(x,y) = C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

x^{3} - x^{2}y + 2x + 2y^{3} + 3y = C.

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