(a) Two surfaces are called orthogonal at a point of intersection if their normal lines are perpendicular at that point. Show that surfaces with equations F(x, y, z)=0 and G(x, y, z)=0 are orthogonal at a point P where \nabla F \neq \mathbf{0} and \nabla G \neq \mathbf{0} if and only if
F_{x} G_{x}+F_{y} G_{y}+F_{z} G_{z}=0 \quad \text { at } P
(b) Use part (a) to show that the surfaces z^{2}=x^{2}+y^{2} and x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2} are orthogonal at every point of intersection. Can you see why this is true without using calculus?
Passo 1
O enunciado trata de superfícies de nível
F(x,y,z)=0 \quad\text{e}\quad G(x,y,z)=0
e pede duas coisas:
Mostrar que elas são ortogonais num ponto P (com \nabla F(P)\neq\mathbf0 e \nabla G(P)\neq\mathbf0) se, e somente se,
F_xG_x+F_yG_y+F_zG_z=0
em P.
Usar esse resultado para verificar a ortogonalidade entre
z^2=x^2+y^2 \quad\text{e}\quad x^2+y^2+z^2=r^2
e dar também uma justificativa geométrica sem cálculo.
O conteúdo principal é cálculo vetorial: definição de gradiente como normal à superfície e condição de ortogonalidade via produto escalar.
Passo 2
Em geral, se uma superfície é dada por
F(x,y,z)=0,
então o vetor gradiente
\nabla F = \bigl(F_x,\,F_y,\,F_z\bigr)
é ortogonal à superfície em cada ponto onde \nabla F\neq\mathbf0. Logo, a reta normal à superfície em P tem direção \nabla F(P). Analogamente, a reta normal à superfície G(x,y,z)=0 em P tem direção \nabla G(P).
Passo 3
Duas retas são ortogonais se, e somente se, seus vetores diretores têm produto escalar zero. Aplicando isso aos vetores \nabla F(P) e \nabla G(P), concluímos que as superfícies são ortogonais em P se, e somente se
\nabla F\cdot\nabla G =-2x\cdot2x +(-2y)\cdot2y + 2z\cdot2z =-4x^2-4y^2+4z^2.
Na curva de interseção vale z^2=x^2+y^2, logo
-4x^2-4y^2+4z^2 =-4(x^2+y^2)+4(x^2+y^2) =0.
Isso mostra que \nabla F\cdot\nabla G=0 em todo ponto de interseção, ou seja, as superfícies são ortogonais.
Passo 5
Geometricamente, a esfera centrada na origem tem vetor normal em cada ponto dado pelo raio \overrightarrow{OP}. Já o cone z^2=x^2+y^2 é gerado por linhas que saem da origem e passam por P; essas geratrizes estão contidas no plano tangente ao cone em P. Como a geratriz coincide com \overrightarrow{OP}, o vetor normal da esfera (que é \overrightarrow{OP}) é perpendicular ao plano tangente do cone, ou seja, as duas normas são perpendiculares. Isso garante a ortogonalidade sem recorrer ao cálculo.
Resposta
Usando a propriedade de que \nabla F e \nabla G são normais às superfícies, concluímos:
(a) Elas são ortogonais em P se, e somente se,
F_xG_x+F_yG_y+F_zG_z=0.
(b) Para z^2=x^2+y^2 e x^2+y^2+z^2=r^2, o produto escalar das normais é zero ao usar z^2=x^2+y^2, provando a ortogonalidade. Geometricamente, o raio da esfera é geratriz do cone, o que garante normas perpendiculares.