Show that every normal line to the sphere
passes through the center of the sphere.
Passo 1
O enunciado considera a esfera de centro na origem e raio
, dada por
Queremos mostrar que, em qualquer ponto
dessa esfera, a reta normal à superfície em
passa pelo centro da esfera. Para isso usaremos o fato de que, para uma superfície definida como nível de uma função
, o vetor gradiente
é perpendicular (normal) à superfície.
Passo 2
Definimos
cuja superfície de nível
é exatamente a esfera. Calculamos o gradiente em
:
Esse vetor é normal à esfera em
.
Passo 3
A equação paramétrica da reta normal em
é
Para ver que
passa pela origem, basta achar
tal que
, isto é
. Nesse caso
que é o centro da esfera.
Resposta
A reta normal em qualquer ponto da esfera é
e para
atinge
. Logo todo normal à esfera passa pelo seu centro.