Show that every normal line to the sphere x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2} passes through the center of the sphere.

Passo 1

O enunciado considera a esfera de centro na origem e raio r, dada por
x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}.
Queremos mostrar que, em qualquer ponto P=(x_{0},y_{0},z_{0}) dessa esfera, a reta normal à superfície em P passa pelo centro da esfera. Para isso usaremos o fato de que, para uma superfície definida como nível de uma função f(x,y,z), o vetor gradiente \nabla f é perpendicular (normal) à superfície.

Passo 2

Definimos
f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2},
cuja superfície de nível f=0 é exatamente a esfera. Calculamos o gradiente em P:
\nabla f(P)=\bigl(2x_{0},\,2y_{0},\,2z_{0}\bigr)=2\,(x_{0},y_{0},z_{0}).
Esse vetor é normal à esfera em P.

Passo 3

A equação paramétrica da reta normal em P é
L(t)=P + t\,\nabla f(P) = (x_{0},y_{0},z_{0}) + t\,2\,(x_{0},y_{0},z_{0}) = \bigl(x_{0}(1+2t),\,y_{0}(1+2t),\,z_{0}(1+2t)\bigr).
Para ver que L passa pela origem, basta achar t tal que 1+2t=0, isto é t=-\tfrac12. Nesse caso
L\bigl(-\tfrac12\bigr) =\bigl(x_{0}(1-1),\,y_{0}(1-1),\,z_{0}(1-1)\bigr) =(0,0,0),
que é o centro da esfera.

Resposta

A reta normal em qualquer ponto da esfera é
L(t)=(x_{0}(1+2t),\,y_{0}(1+2t),\,z_{0}(1+2t)),
e para t=-\tfrac12 atinge (0,0,0). Logo todo normal à esfera passa pelo seu centro.

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