Questão 2. Classifique as equações diferencias ordinárias em EDO de variáveis separadas ou EDO de variáveis separáveis e resolva-as.
yx d y-sen x^2 d x=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
yx,dy ;-;sinl(x^2r),dx ;=;0
e pede para classificá-la e resolvê-la. Aqui o conteúdo é EDO de variáveis separáveis, pois conseguimos escrever os diferenciais de x e y de forma que fiquem em lados opostos da igualdade, cada um multiplicado por função somente de si.

Passo 2

Vamos rearranjar a equação de modo a agrupar y e dy de um lado, e x e dx do outro. Partindo de
yx,dy ;=;sinl(x^2r),dx,
multiplicamos ambos os lados por x, obtendo
y,dy ;=; x,sinl(x^2r),dx
Agora a variável y e seu diferencial estão no lado esquerdo, e a variável x e seu diferencial no lado direito, caracterizando a separação de variáveis.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral y,dy ;=;integral x,sinl(x^2r),dx
No lado esquerdo
integral y,dy = y^22
No lado direito usamos a substituição u = x^2, então du = 2x,dx ou x,dx = tfracdu2. Assim
integral x,sinl(x^2r),dx =integral sin(u),du2 =12l(-cos ur)+C =-12cosl(x^2r)+C

Passo 4

Igualando as primitivas e multiplicando tudo por 2 para simplificar, obtemos
y^2 = -cosl(x^2r) + C',
onde C'=2C é a constante de integração ajustada. Podemos escrever a solução geral em forma implícita como
boxedy^2 + cosl(x^2r)=C',
com C' arbitrária.

Resposta

A equação é uma EDO de variáveis separáveis e sua solução geral implícita é
y^2 + cosl(x^2r) = C',
onde C' é a constante de integração.

Exercícios relacionados