Questão 2. Classifique as equações diferencias ordinárias em EDO de variáveis separadas ou EDO de variáveis separáveis e resolva-as.

Passo 1

O enunciado dá uma EDO de primeira ordem na forma ysin(x),dx+(y^2+1)e^cos(x),dy=0 com condição inicial y(tfracpi2)=1. O conteúdo é EDO de variáveis separáveis: precisamos verificar se dá para escrever tudo em função de y de um lado e de x do outro.

Passo 2

Primeiro transformamos para a forma dydx = f(x)g(y). Dividindo por dx e por (y^2+1)e^cos(x) obtemos
dydx = -ysin(x)(y^2+1)e^cos(x)
Isso mostra que podemos separar variáveis.

Passo 3

Separamos as variáveis agrupando termos em y de um lado e em x do outro:
y^2+1y,dy = -sin(x)e^-cos(x),dx

Passo 4

Agora integramos cada lado. No lado de y:
integraly^2+1y,dy = integrall(y + 1yr),dy = y^22 + ln|y|
No lado de x, fazemos t=-cos(x), dt=sin(x),dx:
integral -sin(x)e^-cos(x),dx = integral e^t,dt = e^t = e^-cos(x)

Passo 5

Igualando as integrais e incluindo constante C:
y^22 + ln|y| = e^-cos(x) + C

Passo 6

Aplicamos a condição inicial y(tfracpi2)=1. Quando x=tfracpi2, e^-cos(pi/2)=e^0=1 e 1^22+ln1=tfrac12. Logo
tfrac12 = 1 + C implies C = -tfrac12

Resposta

A solução implícita que satisfaz a condição inicial é
y^22 + ln|y| = e^-cos(x) - tfrac12

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