Encontre a solução do PVI abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o PVI
com
e
. O conteúdo aqui é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vou escrever a solução geral como soma da parte homogênea e de uma parte particular.
Passo 2
Para encontrar a solução homogênea, monto a equação característica
. As raízes são
. Logo a solução homogênea é
Passo 3
Como o termo forçante é
, que coincide com a parte oscilatória de
, uso o método dos coeficientes indeterminados multiplicando por
. Faço o ansatz
Para simplificar a conta, defino
de modo que
$$y_p’’+2y_p’+5y_p=e^{-t}\bigl(u’’+4u\bigr).
$$
Quero .
Quero
Passo 4
Calculo
em termos de
e
. Definindo
, temos
,
Igualando a
dá
Então
Passo 5
A solução geral é
Agora aplico as condições iniciais:
e, calculando
, obtenho
o que leva a
.
Passo 6
Substituindo
e
, a solução final fica: