Encontre a solução do PVI abaixo:
y^prime prime+2 y^prime+5 y=4 e^-t cos (2 t) com y(0)=1 e y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI y''+2y'+5y=4e^-tcos(2t) com y(0)=1 e y'(0)=0. O conteúdo aqui é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vou escrever a solução geral como soma da parte homogênea e de uma parte particular.

Passo 2

Para encontrar a solução homogênea, monto a equação característica r^2+2r+5=0. As raízes são r=-1pm2i. Logo a solução homogênea é
yh(t)=e^-tl(C1cos(2t)+C2sin(2t)r)

Passo 3

Como o termo forçante é 4e^-tcos(2t), que coincide com a parte oscilatória de yh, uso o método dos coeficientes indeterminados multiplicando por t. Faço o ansatz
yp(t)=e^-t,tl(Acos(2t)+Bsin(2t)r)
Para simplificar a conta, defino u(t)=t(Acos2t+Bsin2t) de modo que
$$y_p’’+2y_p’+5y_p=e^{-t}\bigl(u’’+4u\bigr).
$$
Quero yp''+2yp'+5yp=e^-tl(u''+4ur) .

Passo 4

Calculo u''+4u em termos de A e B. Definindo P(t)=Acos2t+Bsin2t, temos u=tP,
u''+4u=4Bcos2t-4Asin2t
Igualando a 4cos2t
4B=4implies B=1,
-4A=0implies A=0
Então
yp(t)=e^-t,tsin(2t)

Passo 5

A solução geral é
y(t)=e^-tl(C1cos2t+C2sin2tr)+e^-t,tsin2t
Agora aplico as condições iniciais:
y(0)=C1=1 e, calculando y'(0), obtenho 2C2-C1=0 o que leva a C2=1/2.

Passo 6

Substituindo C1=1 e C2=tfrac12, a solução final fica:
y(t)=e^-tl(cos(2t)+tfrac12sin(2t)+tsin(2t)r)

Resposta

y(t)=e^-tl(cos(2t)+tfrac12sin(2t)+tsin(2t)r)

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