Resolva o problema de valor inicial.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
O conteúdo é EDO ordinária de primeira ordem, mas não está imediatamente em forma separável em
. Para contornar isso, vamos inverter as variáveis e tratar
como função de
.
Passo 2
Escrevemos
Isso dá a EDO linear em
:
Passo 3
Para resolver
calculamos o fator integrante
Multiplicando a EDO por
, obtemos
Integramos ambos os lados em
:
Passo 4
Para calcular a integral
usamos integração por partes com
o que leva a
onde
é a integral exponencial. Logo
Passo 5
Aplicamos a condição inicial
, que implica
quando
:
Substituindo
, a solução implícita fica
Passo 6
Isolando
, temos
Esta é a expressão de
em função de
. Inverter explicitamente para
exige funções especiais, então costumamos deixar a solução em forma implícita:
Resposta
A solução do problema de valor inicial fica dada implicitamente por
ou explicitamente, em termos da integral exponencial,