Resolva o problema de valor inicial.
y^prime=y^21-2 x y^2, y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y' = y^21 - 2x,y^2, y(0)=1
O conteúdo é EDO ordinária de primeira ordem, mas não está imediatamente em forma separável em y(x). Para contornar isso, vamos inverter as variáveis e tratar x como função de y.

Passo 2

Escrevemos
dxdy = 1y' = 1 - 2x,y^2y^2
Isso dá a EDO linear em x(y):
dxdy + 2,x = 1y^2

Passo 3

Para resolver
dxdy + 2,x = 1y^2,
calculamos o fator integrante
mu(y) = e^integral 2,dy = e^2y
Multiplicando a EDO por mu(y), obtemos
ddyl(x,e^2yr) = e^2y,1y^2
Integramos ambos os lados em y:
x,e^2y = integral e^2yy^2,dy + C

Passo 4

Para calcular a integral
integral e^2yy^2,dy,
usamos integração por partes com
u = e^2y, dv = y^-2dy,
o que leva a
integral e^2yy^2,dy = -e^2yy + 2integral e^2yy,dy = -e^2yy + 2,Ei(2y),
onde Ei é a integral exponencial. Logo
x,e^2y = -e^2yy + 2,Ei(2y) + C

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(0)=1, que implica x=0 quando y=1:
0cdot e^2cdot1 = -e^21 + 2,Ei(2) + C ;Longrightarrow; C = e^2 - 2,Ei(2)
Substituindo C, a solução implícita fica
x,e^2y = -e^2yy + 2,Ei(2y) + e^2 - 2,Ei(2)

Passo 6

Isolando x, temos
x = -1y ;+; 2,e^-2y,Ei(2y) ;+; e^2-2y ;-; 2,e^-2y,Ei(2)
Esta é a expressão de x em função de y. Inverter explicitamente para y(x) exige funções especiais, então costumamos deixar a solução em forma implícita:
x,e^2y + e^2yy - 2,Ei(2y) = e^2 - 2,Ei(2)

Resposta

A solução do problema de valor inicial fica dada implicitamente por
x,e^2y + e^2yy - 2,Ei(2y) = e^2 - 2,Ei(2),
ou explicitamente, em termos da integral exponencial,
x = -1y + 2,e^-2y,Ei(2y) + e^2-2y - 2,e^-2y,Ei(2)

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