Usando a técnica descrita na questão 10, encontre a solução geral das EDOs abaixo. Note que uma solução da EDO homogênea associada já é dada.
t^2 y^prime prime-2 t y^prime+2 y=4 t^2 com t>0 e y1(t)=t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO não homogênea
t^2y''-2t,y'+2y=4t^2, t>0,
sabendo que uma solução da homogênea associada é y1(t)=t. O conteúdo envolve dois tópicos: redução de ordem para obter uma segunda solução da homogênea e, em seguida, variação de parâmetros para encontrar uma particular da não homogênea.

Passo 2

Começamos escrevendo a homogênea em forma padrão dividindo por t^2:
y''-2ty'+2t^2y=0
Aqui P(t)=-tfrac2t. Pela redução de ordem, a segunda solução é
y2(t)=y1(t)integral expl(-integral P(t),dtr)y1(t)^2,dt
Como integral P(t),dt=-2ln t, temos exp(-integral P)=t^2. Logo
y2(t)=tintegral t^2t^2,dt =tintegral 1,dt =t^2

Passo 3

As duas soluções fundamentais da homogênea são y1(t)=t e y2(t)=t^2. O Wronskiano é
W(t)= t & t^2 1 & 2t =2t^2-t^2=t^2

Passo 4

Para a não homogênea em forma padrão
y''+P(t)y'+Q(t)y=g(t),
com g(t)=4, a variação de parâmetros dá
yp(t)=-y1(t)integral y2(t),g(t)W(t),dt +y2(t)integral y1(t),g(t)W(t),dt

Passo 5

Calculamos as integrais:
integral y2gW,dt =integral t^2cdot 4t^2,dt =integral 4,dt =4t,
integral y1gW,dt =integral tcdot 4t^2,dt =integral 4t,dt =4ln t
Portanto
yp(t) =-t,(4t)+t^2(4ln t) =4t^2(ln t-1)

Passo 6

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(t)=C1,t + C2,t^2 + 4,t^2(ln t - 1)

Resposta

y(t)=C1,t + C2,t^2 + 4,t^2(ln t - 1)

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