Verifique se as séries a seguir são convergentes ou divergentes. (Dica: Aplique o Teste da Série Alternada quando possível: se os termos
são positivos, decrescentes e tendem a zero, então
converge. Em outros casos, considere também o Teste para a Divergência.)
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência da série
O conteúdo envolve o Teste da Série Alternada e também podemos investigar convergência absoluta usando o Teste da Razão.
Passo 2
Definimos
Observe que para todo
temos
. Além disso
logo
é decrescente a partir de
. E como o denominador cresce exponencialmente,
Passo 3
Pelas condições do Teste da Série Alternada—
positivo, decrescente e tendendo a zero—a série
converge.
Passo 4
Para verificar convergência absoluta, considere
Pelo Teste da Razão:
Logo
converge, o que implica que a série dada é absolutamente convergente.
Resposta
A série converge absolutamente (e, portanto, converge).