Verifique se as séries a seguir são convergentes ou divergentes. (Dica: Aplique o Teste da Série Alternada quando possível: se os termos bn são positivos, decrescentes e tendem a zero, então sum(-1)^n+1 bn converge. Em outros casos, considere também o Teste para a Divergência.)
sumn=1^infty(-1)^n+1 n2^n

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
sumn=1^infty(-1)^n+1,n2^n
O conteúdo envolve o Teste da Série Alternada e também podemos investigar convergência absoluta usando o Teste da Razão.

Passo 2

Definimos
bn = n2^n
Observe que para todo n>=1 temos bn>0. Além disso
bn+1bn = tfracn+12^,n+1tfracn2^n = n+12n ;<;1 para n>=2,
logo (bn) é decrescente a partir de n=2. E como o denominador cresce exponencialmente,
limntoinftybn =limntoinftyn2^n =0

Passo 3

Pelas condições do Teste da Série Alternada— bn positivo, decrescente e tendendo a zero—a série
sumn=1^infty(-1)^n+1bn
converge.

Passo 4

Para verificar convergência absoluta, considere
sumn=1^inftybn =sumn=1^inftyn2^n
Pelo Teste da Razão:
L =limntoinfty bn+1bn =limntoinftyn+12n =12 <1
Logo sum bn converge, o que implica que a série dada é absolutamente convergente.

Resposta

A série converge absolutamente (e, portanto, converge).

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