Encontre a solução dos PVI abaixo.
y^prime prime+4 y=0, y(0)=0, y^prime(0)=1;

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de valor inicial
y'' + 4y = 0, y(0)=0,;y'(0)=1
Aqui usamos equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. O plano é (i) escrever a equação característica, (ii) obter a solução geral por superposição de funções senoidais, e (iii) ajustar as constantes com as condições iniciais.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada à parte homogênea:
r^2 + 4 = 0
Resolvendo, temos as raízes
r = pm 2,i

Passo 3

Como as raízes são puramente imaginárias pm 2i, a solução geral é
y(x) = C1 cos(2x) + C2 sin(2x)

Passo 4

Calculamos a derivada de y para usar a condição y'(0)=1:
y'(x) = -2C1 sin(2x) + 2C2 cos(2x)

Passo 5

Aplicando y(0)=0 na solução geral:
y(0) = C1cdot1 + C2cdot0 = C1 = 0
Em seguida, aplicando y'(0)=1:
y'(0) = -2C1cdot0 + 2C2cdot1 = 2C2 = 1 Longrightarrow C2 = tfrac12

Passo 6

Substituindo C1=0 e C2=tfrac12 na solução geral, obtemos
y(x) = tfrac12 ,sin(2x)

Resposta

y(x) = tfrac12 sin(2x)

Exercícios relacionados