Encontre a solução do PVI:
cy^prime prime+y=8 t y(0)=0, y^prime(0)=10

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI) dado por y’’ + y = 8t com y(0)=0 e y’(0)=10. Isso é um EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes não homogênea. Vamos usar a decomposição da solução em parte homogênea e particular.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a parte homogênea associada y'' + y = 0. A equação característica é r^2 + 1 = 0, cujas raízes são r = pm i. Logo, a solução geral homogênea é
yh(t) = Acos t + Bsin t

Passo 3

Agora encontramos uma solução particular yp(t) para y'' + y = 8t. Como o termo forçante é um polinômio de grau 1, assumimos o palpite
yp(t) = Ct + D
Derivando: yp' = C e yp'' = 0. Substituindo na EDO:
0 + (Ct + D) = 8t
Isso exige C = 8 e D = 0. Então
yp(t) = 8t

Passo 4

A solução geral do PVI é
y(t) = yh(t) + yp(t) = Acos t + Bsin t + 8t
Agora aplicamos as condições iniciais. Em t=0:
y(0) = A + 0 + 0 = 0 implies A = 0
Derivando y(t):
y'(t) = -Asin t + Bcos t + 8
Em t=0:
y'(0) = 0 + B + 8 = 10 implies B = 2

Resposta

A solução do PVI é
y(t) = 2sin t + 8t

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