Encontre a solução do PVI:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI) dado por y’’ + y = 8t com y(0)=0 e y’(0)=10. Isso é um EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes não homogênea. Vamos usar a decomposição da solução em parte homogênea e particular.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a parte homogênea associada
. A equação característica é
, cujas raízes são
. Logo, a solução geral homogênea é
Passo 3
Agora encontramos uma solução particular
para
. Como o termo forçante é um polinômio de grau 1, assumimos o palpite
Derivando:
Isso exige
e
. Então
Passo 4
A solução geral do PVI é
Agora aplicamos as condições iniciais. Em
Derivando
:
Em
Resposta
A solução do PVI é