Problema 3.18. Efetue a divisão euclidiana nos seguintes casos:
(a) de 43 por 3
(b) de 43 por 5
(c) de 233 por 4
(d) de 1453 por 10 , por 100 , por 1000 e por 10000 .

Passo 1

O enunciado pede para realizarmos a divisão euclidiana de alguns pares de inteiros, ou seja, para cada par (a,b) com b>0 devemos encontrar o quociente inteiro q e o resto r tais que
a = b,q + r
com 0 <= r < b. O conteúdo é o teorema da divisão euclidiana e vamos aplicá-lo a cada caso.

Passo 2

Segundo o teorema da divisão euclidiana, para inteiros a e b>0 existem únicos q e r satisfazendo
a = b,q + r, 0 <= r < b
Na prática, dividimos a por b, tomamos q = lfloor a/brfloor e depois calculamos r = a - b,q.

Passo 3

Para dividir 43 por 3, calculamos
433 = 14,3ldots Longrightarrow q = 14,
e em seguida
r = 43 - 3cdot14 = 43 - 42 = 1

Passo 4

Para dividir 43 por 5, temos
435 = 8,6 Longrightarrow q = 8,
e
r = 43 - 5cdot8 = 43 - 40 = 3

Passo 5

Para dividir 233 por 4, obtemos
2334 = 58,25 Longrightarrow q = 58,
e
r = 233 - 4cdot58 = 233 - 232 = 1

Passo 6

Para dividir 1453 por potências de 10:
  1. Por 10:
145310 = 145,3 Longrightarrow q = 145, r = 1453 - 10cdot145 = 3
  1. Por 100:
1453100 = 14,53 Longrightarrow q = 14, r = 1453 - 100cdot14 = 53
  1. Por 1000:
14531000 = 1,453 Longrightarrow q = 1, r = 1453 - 1000cdot1 = 453
  1. Por 10000:
145310000 = 0,1453 Longrightarrow q = 0, r = 1453 - 10000cdot0 = 1453

Resposta

(a) 43 = 3cdot14 + 1, logo q=14, r=1.
(b) 43 = 5cdot8 + 3, logo q=8, r=3.
(c) 233 = 4cdot58 + 1, logo q=58, r=1.
(d)
,,– por 10: 1453 = 10cdot145 + 3, q=145, r=3.
,,– por 100: 1453 = 100cdot14 + 53, q=14, r=53.
,,– por 1000: 1453 = 1000cdot1 + 453, q=1, r=453.
,,– por 10000: 1453 = 10000cdot0 + 1453, q=0, r=1453.

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