Problema 3.16.
Mostre que se n é um número par, então mdc(n, 2 n+2)=2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, sempre que n é par, então
gcdl(n,,2n+2r)=2
O conteúdo aqui é teoria dos divisores e propriedades do gcd.

Passo 2

Como estamos supondo n par, escrevemos
n = 2k
para algum inteiro k. Isso nos ajuda a simplificar os dois argumentos do gcd.

Passo 3

Reescrevemos 2n+2 em função de k:
2n+2 = 2l(n+1r) = 2l(2k+1r) = 4k+2

Passo 4

Agora usamos a propriedade
gcd(d,a,;d,b)=d;gcd(a,b),
válida para qualquer inteiro d. No nosso caso d=2, a=k e b=2k+1. Logo
gcdl(2k,;4k+2r) =gcdl(2k,;2(2k+1)r) =2;gcdl(k,;2k+1r)

Passo 5

Falta então calcular gcdl(k,2k+1r). Se um inteiro d divide tanto k quanto 2k+1, então divide qualquer combinação linear, em particular
(2k+1)-2cdot k = 1
Portanto d divide 1, o que força d=1. Concluímos que
gcdl(k,2k+1r)=1

Passo 6

Substituindo de volta em
gcdl(n,2n+2r) =2;gcdl(k,2k+1r),
obtemos
gcdl(n,2n+2r)=2cdot1=2

Resposta

2

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