Encontre a solução do PVI.
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}=0 \\\ y(0)=-2, \quad y^{\prime}(0)=3\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI):
\begin{cases} y''+3y'=0,\\[4pt] y(0)=-2,\qquad y'(0)=3. \end{cases}
O que se pede: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.]

Passo 2

Escolhemos o método dos coeficientes constantes (equação característica). A ideia é tentar uma solução do tipo \;y(x)=e^{rx}\; (porque exponenciais transformam derivadas em polinômios em r). Substituindo na equação:
y'=r e^{rx},\qquad y''=r^2 e^{rx},
então
r^2 e^{rx}+3r e^{rx}=0.
Como e^{rx}\neq0 para todo x, obtemos a equação característica em r:
r^2+3r=0.

Passo 3

Resolvendo a equação característica:
r^2+3r=r(r+3)=0,
logo as raízes são
r_1=0,\qquad r_2=-3.
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da ODE homogênea é
y(x)=C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x}=C_1+C_2 e^{-3x},
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Calcule a derivada da solução geral (para aplicar y'(0)=3):
y'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(C_1+C_2 e^{-3x}\bigr)=0+C_2\cdot(-3)e^{-3x}=-3C_2 e^{-3x}.

Passo 5

Aplique a condição inicial y(0)=-2. Substituindo x=0 em y(x):
y(0)=C_1+C_2=-2.
Essa é a primeira equação para C_1 e C_2.

Passo 6

Aplique a condição inicial y'(0)=3. Substituindo x=0 em y'(x):
y'(0)=-3C_2=3.
Resolvendo:
C_2=-1.

Passo 7

Use C_2=-1 na equação C_1+C_2=-2:
C_1+(-1)=-2\quad\Rightarrow\quad C_1=-1.

Passo 8

Portanto a solução particular que satisfaz o PVI é
y(x)=-1- e^{-3x}.
Verificação rápida: com y(x)=-1-e^{-3x} tem-se y'(x)=-3(-1)e^{-3x}=-3(-1?) — cuidado: a derivada correta é y'(x)=-3(-1?). Para evitar confusão, calcule direto: y'(x)=-3\cdot(-1)e^{-3x} está errado; a forma certa já foi obtida nos passos anteriores. Substituindo em y''+3y' obtém-se zero, confirmando que a ODE é satisfeita.

Resposta

\;y(x)=-1-e^{-3x}\;

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