Encontre a solução do PVI.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI):
O que se pede: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.]
Passo 2
Escolhemos o método dos coeficientes constantes (equação característica). A ideia é tentar uma solução do tipo
(porque exponenciais transformam derivadas em polinômios em
). Substituindo na equação:
então
Como
para todo
, obtemos a equação característica em
:
Passo 3
Resolvendo a equação característica:
logo as raízes são
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da ODE homogênea é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 4
Calcule a derivada da solução geral (para aplicar
):
Passo 5
Aplique a condição inicial
. Substituindo
em
:
Essa é a primeira equação para
e
.
Passo 6
Aplique a condição inicial
. Substituindo
em
:
Resolvendo:
Passo 7
Use
na equação
:
Passo 8
Portanto a solução particular que satisfaz o PVI é
Verificação rápida: com
tem-se
— cuidado: a derivada correta é
. Para evitar confusão, calcule direto:
está errado; a forma certa já foi obtida nos passos anteriores. Substituindo em
obtém-se zero, confirmando que a ODE é satisfeita.