Encontre a solução do PVI.
Passo 1
O enunciado pede a solução do problema de valor inicial (PVI)
Informações dadas:
- A equação diferencial é linear, homogênea, de segunda ordem, com coeficientes constantes:
. - Condições iniciais no ponto
: e .
O objetivo é encontrar a funçãoque satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais.]
Passo 2
Qual método usar?
Para equações lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes a técnica padrão (e mais direta em prova) é procurar soluções da forma . Vou usar esse método porque transforma a ODE numa equação algébrica para
(a chamada equação característica), o que é rápido e confiável quando os coeficientes são constantes.
Para equações lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes a técnica padrão (e mais direta em prova) é procurar soluções da forma
Passo 3
Supôs-se uma solução do tipo exponencial:
Calcule as derivadas necessárias:
Substituindo na equação diferencial obtemos
Como
para todo
, podemos dividir por
e obter a equação característica:
Passo 4
Resolver a equação quadrática característica:
Usa-se a fórmula quadrática ou fatoração. A fatoração funciona aqui:
Portanto as raízes são
São duas raízes reais e distintas.
Passo 5
Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas
e
, a solução geral da ODE homogênea é
Aqui, com
e
, a solução geral é
onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 6
Calcule a derivada geral para aplicar a condição inicial em
:
Agora aplique as condições iniciais em
.
Da condição
:
Da condição
:
Obtemos o sistema linear para
:
Passo 7
Resolver o sistema para encontrar
e
. Subtraindo a primeira equação da segunda:
Logo
Substituindo em
dá
Passo 8
Concluímos que as constantes são
e
. Com isso a solução geral particular que satisfaz as condições iniciais está determinada unicamente por essas constantes. (A verificação rápida é fazer
na ODE e nas condições iniciais; a ODE fica satisfeita e
.)