Encontre a solução do PVI.
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=0 \\\ y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial (PVI)
\left\{\begin{array}{l} y''+y'-2y=0,\\[4pt] y(0)=1,\quad y'(0)=1. \end{array}\right.
Informações dadas:
  • A equação diferencial é linear, homogênea, de segunda ordem, com coeficientes constantes: y''+y'-2y=0.
  • Condições iniciais no ponto 0: y(0)=1 e y'(0)=1.
    O objetivo é encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais.]

Passo 2

Qual método usar?
Para equações lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes a técnica padrão (e mais direta em prova) é procurar soluções da forma y(x)=e^{r x}. Vou usar esse método porque transforma a ODE numa equação algébrica para r (a chamada equação característica), o que é rápido e confiável quando os coeficientes são constantes.

Passo 3

Supôs-se uma solução do tipo exponencial:
y(x)=e^{r x}.
Calcule as derivadas necessárias:
y'(x)=r e^{r x},\qquad y''(x)=r^{2} e^{r x}.
Substituindo na equação diferencial obtemos
r^{2} e^{r x} + r e^{r x} - 2 e^{r x} = 0.
Como e^{r x}\neq 0 para todo x, podemos dividir por e^{r x} e obter a equação característica:
r^{2}+r-2=0.

Passo 4

Resolver a equação quadrática característica:
r^{2}+r-2=0.
Usa-se a fórmula quadrática ou fatoração. A fatoração funciona aqui:
r^{2}+r-2=(r-1)(r+2)=0.
Portanto as raízes são
r_{1}=1,\qquad r_{2}=-2.
São duas raízes reais e distintas.

Passo 5

Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas r_{1} e r_{2}, a solução geral da ODE homogênea é
y(x)=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x}.
Aqui, com r_{1}=1 e r_{2}=-2, a solução geral é
y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-2x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 6

Calcule a derivada geral para aplicar a condição inicial em y':
y'(x)=C_{1}e^{x}-2C_{2}e^{-2x}.
Agora aplique as condições iniciais em x=0.
Da condição y(0)=1:
y(0)=C_{1}e^{0}+C_{2}e^{0}=C_{1}+C_{2}=1.
Da condição y'(0)=1:
y'(0)=C_{1}e^{0}-2C_{2}e^{0}=C_{1}-2C_{2}=1.
Obtemos o sistema linear para C_{1},C_{2}:
\begin{cases} C_{1}+C_{2}=1,\\[4pt] C_{1}-2C_{2}=1. \end{cases}]

Passo 7

Resolver o sistema para encontrar C_{1} e C_{2}. Subtraindo a primeira equação da segunda:
(C_{1}-2C_{2})-(C_{1}+C_{2})=1-1 \quad\Rightarrow\quad -3C_{2}=0.
Logo
C_{2}=0.
Substituindo em C_{1}+C_{2}=1
C_{1}+0=1\quad\Rightarrow\quad C_{1}=1.

Passo 8

Concluímos que as constantes são C_{1}=1 e C_{2}=0. Com isso a solução geral particular que satisfaz as condições iniciais está determinada unicamente por essas constantes. (A verificação rápida é fazer y(x)=e^{x} na ODE e nas condições iniciais; a ODE fica satisfeita e y(0)=1,\;y'(0)=1.)

Resposta

y(x)=e^{x}

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